Определение взаимного положения прямой и плоскости

Задача 1 (рисунок 14)

Дано:

- Плоскость ω,заданная ∆ ABC

- прямая p

Определить взаимное положение прямой р и плоскости ω и в случае их пересечения найти эту точку.

Решение:

1) Возможны следующие случаи расположения прямой и плоскости:

a) прямая лежит в плоскости (р € ω);

б) прямая параллельна плоскости P'≡δ'≡ ℓ '(р // ω);

в) прямая пересекает плоскость (р ∩ ω).

2) Анализ графического условия:

а) прямая принадлежит плоскости, если хотя бы две ее точки принадлежат плоскости. Такими точками могут являться точки пересечения прямой р' со сторонами А'С' и В'С' ∆ АВС на П1. Строим точки 1 и 2, на П₂. Если проекция р'' не проходит через точки 1'' и 2'' на П₂, значит она не лежит в плоскости ω (АВС), т.е. р не принадлежит ω.

б) прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. В этом случае одноименные проекции прямых должны быть параллельны между собой.

Следует обратить внимание, что горизонтальные проекции р и АВ параллельны (р₁ // А₁В₁), а фронтальные – не параллельны, значит прямые р и АВ не параллельны и следовательно, прямая р не параллельна плоскости ω (АВС).

в) Если прямая не лежит в плоскости и не параллельна ей, то она пересекает эту плоскость.

Для определения точки пересечения прямой с плоскостью в качестве посредника вводится вспомогательная проецирующая плоскость.

3) Алгоритм решения задачи:

а) через прямую р на П₁ или П₂ проводим вспомогательную проецирующую плоскость – посредник δ (δ כּ р). В рассматриваемой задаче проведена горизонтально – проецирующая плоскость, т.е. р₁ ≡ δ₁.

б) Плоскость δ пересекает плоскость ω(АВС) по прямой линии, назовем её ℓ (δ ∩ ω = ℓ). Прямая ℓ конкурирует с прямой р (р' ≡ ℓ') и лежит вместе с ней в плоскости δ. Прямые р и ℓ лежат в одной плоскости δ и пересекаются в точке К (р ∩ ℓ = К). Но так как прямая ℓ принадлежит и плоскости ω, то точка К – общая для плоскости ω(АВС) и прямой р, т.е. она является точкой пересечения прямой р с плоскостью ω(АВС) (К = ω ∩ р).

в) На П₁ прямая ℓ' пересекает стороны плоскости ω А'С' и В'С' в точках 1' и 2'.

г) Строим данные точки на П₂ и проводим через них прямую ℓ''.

д) На П₂ находим точку пересечения прямых ℓ'' и р'' (ℓ'' ∩ р'' = К'').

е) Горизонтальная проекция точки К' определяется по принадлежности к прямой р при помощи линии связи.

ж) Символическая запись алгоритма решения:

- δ כּ р; δ ┴ П₁; δ' ≡ p';

- δ ∩ ω = ℓ; ℓ' ≡ δ'; ℓ' כּ 1' и 2' → ℓ'' כּ 2'' и 1''

- К = ℓ ∩ p (K₂ = ℓ'' ∩ p''; K₁ כּ p').

з) Определяем видимость прямой.

- для определения видимости воспользуемся конкурирующими точками.

- на П₁ это точки 1'' и 3'. Точка 3 € р; точка 1 € АС. Строим эти точки на П₂.

На П₁ видимой будет та точка, координаты которой по Z на П₂ больше.

В нашем случае видимой будет точка 3, которая принадлежит прямой р → на П₁ прямая р от конкурирующей точки до точки пересечения будет видимой.

- на П₂ конкурирующие точки 4'' и 5''. Одна точка 4'' € р''; 5'' € В''С''.

Строим эти точки на П₁.

На П₂ видимой будет та точка, координата которой на П₁ по Ү больше; в нашем случае это точка 4'. Она расположена на р'. Отсюда следует что на П₂ от конкурирующей точки до точки врезания видимой будет прямая р''.

Рисунок 14