Вычитая второе равенство из первого, получаем

X-X^(k)=C(X-X^(k-1)). (4.32)

Обозначим X-X^(k)=R^(k). Тогда (4.32) можно записать в виде

R^(k)=CR^(k-1):

при k=1 имеем R⁽¹⁾=CR⁽⁰⁾;

при k=2 имеем R⁽²⁾=CR⁽¹⁾=C²R⁽⁰⁾;

при k=3 имеем R⁽³⁾=CR⁽²⁾=C³R⁽⁰⁾.

Продолжая этот процесс, получаем

R^(k)=C^kR⁽⁰⁾. (4.33)

Из определения нормы матрицы вытекает, что

Воспользовавшись этим неравенством и условием согласованности норм матрицы и вектора, получаем из (4.33)

(4.34)

Правая часть неравенства (4.34) стремится к нулю при так как . Отсюда следует, что

при ,

т.е. последовательность X^(k) (4.30) сходится к решению системы Х.

Теорема доказана.

Следствие. Для того, чтобы метод простой итерации для системы уравнений X=CX+F сходился, достаточно, чтобы выполнялось одно из условий:

1) ;

2) (4.35)

3) .

Это следствие вытекает из теоремы и формул (4.24), (4ю25), (4.27). На практике обычно используется первое или второе условие.

Метод простой итерации имеет ряд преимуществ по сравнению с методом Гаусса.

1. Если итерационный процесс сходится достаточно быстро, т.е. если для решения системы требуется менее n итераций, то получаем выигрыш во времени, так как число арифметических действий, необходимых для одной итерации, пропорционально n², а общее число арифметических действий в методе Гаусса пропорционально n³.

2. Погрешность округления в методе итераций сказываются значительно меньше, чем в методе Гаусса. Кроме того, метод итерации является самоисправляющимся.

3. Метод итерации приводит к выполнению однообразных операций и легко програмируется для вычисления на ЭВМ.

4.6. Приведение линейной системы к виду,

удобному для итерации

Задана система уравнений , где . Требуется заданную систему уравнений привести к виду, удобному для итерации.

Очень просто преобразуется к нужному виду система в случае, когда диагональные элементы матрицы А значительно преобладают над остальными элементами. Запишем систему в развернутом виде:

(4.36)

…………………………………..

Пусть

………………………………

Делим каждое уравнение системы (4.36) на диагональный элемент и находим :

(4.37)

……………………………………………..

Легко проверить, что полученная система (4.37) удовлетворяет первому из достаточных условий (4.35).

Рассмотрим теперь систему в случае, когда диагональные элементы матрицы А не преобладают над остальными элементами. Из заданной системы выделим уравнения с коэффициентами, модули которых больше суммы модулей остальных коэффициентов уравнения. Каждое выделенное уравнение выписываем в строку новой системы так, чтобы наибольший по модулю коэффициент оказался диагональным. Из оставшихся неиспользованных и выделенных уравнений системы составляем линейные комбинации так, чтобы получить недостающие уравнения, причес диагональные коэффициенты по модулю должны быть больше суммы модулей всех остальных коэффициентов. Необходимо, чтобы при составлении новой системы использовалось каждое уравнение исходной системы. Полученная таким образом система имеет матрицу с преобладающими диагональными элементами, и к ней применимы вышеописанные преобразования.

Естественно, заданную систему можно привести к виду, удобному для итерации, любым другим способом, лишь бы выполнялось одно из условий (4.36).

Пример. Методом простой итерации решить систему

;

;

.

Замечаем, что в третьем уравнении заданной системы коэффициент при х₂ по модулю больше суммы модулей коэффициентов при х₁ и х₂%

.

Ставим уравнение вторым в новой системе. Для получения первого уравнения новой системы сложим первые два уравнения заданной системы:

.

Для получения третьего уравнения новой системы умножим первое уравнение заданной системы - на –2, второе уравнение на 1, третье уравнение - на 2 и все это сложим. Получим

.

Новая система уравнений, эквивалентная заданной, имеет вид

преобразуем ее к виду

.

Полученная система удовлетворяет первому из достаточных условий (4.36).

Возьмем в качестве нулевого приближения х⁽⁰⁾ столбец свободных членов. Все вычисления оформим в виде табл.4.5.

Таблица 4.5

	0.6	0.6	1.875
	0.855	-0.3	1.95
	0.996	-0.009	1.981876
	0.998175	0.00645	1.9995
	0.99861	-0.000165	1.999771

Если остановится на четвертой итерации, то, округляя полученные значения до трех знаков после запятой, имеем ответ:

; ; .

Отметим, что точным решением системы являются значения:

; ; .

4.7. Метод Зейделя