Простейшие задачи, вытекающие из определения ДУ 1-го порядка

Задача-1. Пусть заданы: ДУ в виде y′ = f (x,y), или F(x, y, y′), а также функция y = φ (x). Нужно определить является ли y = φ (x) решением заданного ДУ.

Решение: Так как функция y=φ (x) должна превращать в тождество дифференциальное уравнение 1-го порядка, то подставлять в уравнение необходимо не только саму функцию, но и её производную y′. Это определяет общую схему решения задачи:

1). Пусть имеем дифференциальное уравнение F(x,y, y′)=0 и необходимо проверить является ли данная функция y=φ (x) решением этого уравнения.

2). Вычисляем производную заданной функции y′ = φ′ (x).

3). Подставляем в уравнение функцию y=φ (x) и ее производную y′ = φ′ (x).

4). Если уравнение F(x, φ (x), φ′ (x))=0 обратилось в тождество, функция y=φ (x) является решением уравнения F(x,y, y′)=0, иначе – не является.

5). Записываем ответ: функция y=φ (x) является (не является) решением заданного ДУ.

Ответ: Является (Не является).

☺☺

Пример 1 – 11: Задано ДУ: (xy ²+ x) dx +(y – x ² y) dy =0. Определить, является ли функция 1+ y ²=2(1– x ²) решением данного уравнения.

Решение:

1). Представим уравнение в виде: xy ²+ x +(y – x ² y) y′ =0. (1)

2). Найдем производную данной функции 1+ y ²=2(1– x ²). Считая y=y (x), продифференцируем выражение 1+ y ²=2(1– x ²) по x: → 2 yy′ =–4 x. (2)

3). Умножим уравнение (1) на 2 y: 2 xy ³+2 yx +(y – x ² y)2 yy′ =0. Заменим в этом выражении 2 yy′ на –4 x. Получим: 2 xy ³+2 yx –4 yx +8 x ³ y≠ 0.

4). Это значит: заданная функция не является решением заданного уравнения.

Ответ: функция: 1+ y ²=2(1– x ²) – не является решением заданного уравнения.

☻

Задача-2. Пусть задано семейство кривых: y = φ (x,С). Построить ДУ, для которого это семейство является решением..

Решение: при выполнении задания необходимо знать, что семейство кривых может быть задано в виде функции с параметром: y=φ (x,С). Оказывается можно построить дифференциальное уравнение F(x, y, y ′)=0, решением которого является функция y = φ(x,С).

Общая схема выполнения задания такова:

1). Пусть имеем семейство кривых y=φ (x,С).

2). Вычислим производную y ′= φ ′(x,С).

3). Имея систему: исключим параметр С из первого выражения, используя второе, или наоборот (способ каждый выбирает сам!):

а) выразим из y=φ (x,С) параметр С=f₁ (x,y) и подставим его выражение для производной y ′= φ ′(x,С); полученное выражение y ′= φ ′(x,f₁ (x,y)) является искомым дифференциальным уравнением, для которого решением является заданное семейство кривых y=φ(x,С);

б) выразим из y ′= φ ′(x,С) параметр С=f₂ (x,y ′) и подставим его выражение для семейства кривых y=φ (x,С); полученное выражение y=φ (x,f₂ (x,y ′)) является искомым дифференциальным уравнением, для которого решением является заданное семейство кривых y=φ (x,С);

5). Записываем ответ: семейство кривых y=φ (x,С) определяет дифференциальное уравнение: y ′= φ ′(x,f₁ (x,y)) - из п. 3_а) (или y=φ (x,f₂ (x,y ′)) - из п. 3_б)).

Ответ: Запись найденного ДУ (записи у разных авторов могут отличаться, не принципиально!).

☺☺

Пример 1 – 12: Имеем семейство кривых: 2 x + y –1=C e ^2y–x. Необходимо построить дифференциальное уравнение, для которого данное семейство кривых является решением.

Решение:

1). Учитывая, что для заданного семейства кривых явное выражение функции y=φ (x,С) не может быть получено, продифференцируем заданное выражение семейства кривых, учитывая, что y = f(x): 2+ y ′=C e ^2y–x(2 y ′–1). (1)

2). Для исключения параметра С проще всего умножить выражение семейства кривых на скобку (2 y ′–1) и учесть равенство (1): (2 x + y –1)(2 y ′–1)=C e ^2y–x(2 y ′–1)=2+ y ′.

3). После несложных преобразований последнего выржения получаем дифференциальное уравнение: (4 x +2 y –3) y ′=2 x + y +1.

Ответ: семейство кривых: 2 x + y –1=C e ^2y–x является решением дифференциального уравнения: (4 x +2 y –3) y ′=2 x + y +1.

☻