Диаграмма направленности

Вначале исследуем направленные свойства решетки, состоящей
из n изотропных излучателей. Расстояние до точки А, где определяется напряженность поля (точка приема), как правило, много больше линейных размеров решетки. Поэтому лучи (радиусы-векторы) от отдельных элементов решетки до точки приема можно без заметного ущерба представить как систему параллельных линий (рис. 14.1).

Рис. 14.1. Схема сложения полей в случае СР

Поле в точке приема определяется как результат сложения полей отдельных элементов решетки:

E = E ₁ + E ₂ + E ₃ +… E_n. (14.1)

Фазы полей, создаваемых соседними элементами в точке приема, отличаются на величину j = k D r = kd sinj, где j – угол, отсчитываемый от нормали к оси решетки, а D r – разность хода соседних лучей до точки приема. Пусть фаза поля первого элемента равна нулю, тогда

. (14.2)

Без большого ущерба для расчетов можно положить r ₁ » r ₂ » r ₃ »… r_n» r. Тогда E _{1 m}» E _{2 m}» E _{3 m} …» E_nm. Если для простоты записи обозначить
х = е^{jkd sinj}, то формула (14.2) примет вид

E = E _{1 m} (1 + х + х ² +…+ х^{n –1}). (14.3)

Выражение в скобках представляет собой сходящийся ряд, сумма которого равна , отсюда

(14.4)

Используя преобразования Эйлера (е^jx – e^–jx = j 2sin x), выражение (14.4) можно переписать в виде

. (14.5)

Выражение (14.5) представляет собой результирующее поле решетки в точке приема, где Е _{1 m} – амплитуда поля, – его фаза, а выражение в квадратных скобках характеризует зависимость поля от угла обхода решетки, т. е. ее диаграмму направленности. Этот множитель называется множителем системы (решетки):

. (14.6)

Наличие тригонометрических функций в выражении (14.6) показывает, что в диаграмме направленности имеет место чередование максимумов и минимумов. Первый максимум называется основным ле-пестком диаграммы направленности. Остальные максимумы называются боковыми, или побочными, лепестками. Минимумы ДН (F _c = 0) имеют место при условии, когда аргумент синуса в числителе формулы (14.6) кратен p:

,

где m – числа натурального ряда (m = 0, 1, 2…). Отсюда

. (14.7)

Первый минимум образуется при m = 0.

В этом случае

, (14.8)

или

.

Величина j₀ называется шириной главного лепестка по нулевому излучению (см. рис. 12.9). В многоэлементных решетках j₀ может принимать очень малые значения (до долей градуса). Тогда без большого ущерба в формуле (14.8) значение синуса можно заменить аргументом.

Отсюда

, рад. (14.9)

Из (14.6) непосредственно следует, что максимум излучения решетки направлен по нормали к оси решетки (j = 0). В этом случае множитель решетки равен

.

Раскроем эту неопределенность, воспользовавшись правилом Лопиталя. Обозначим , тогда

.

Таким образом, результирующее поле, создаваемое решеткой в направлении нормали к ее оси, в n раз больше поля одного элемента.

Определим уровни боковых лепестков. При достаточно большом значении nd направление максимумов боковых лепестков приближенно можно найти из условия максимума числителя в формуле (14.6). Так как знаменатель в формуле (14.6) изменяется значительно медленнее, чем числитель, то функцию sin в знаменателе можно заменить аргументом. Приравнивая аргумент числителя к значению , где m = 1,2,3…, получим

. (14.10)

Из (14.10) следует, что интенсивность боковых лепестков уменьшается по мере роста их номера. Так для первого бокового лепестка (m = 1):

; (14.11)

для второго (m = 2):

, (14.12)

для третьего (m = 3):

. (14.13)

Следует иметь в виду, что подобное убывание уровня боковых лепестков имеет место при условии, когда . В противном случае с некоторого номера n уровень боковых лепестков начинает возрастать.

Знак «–» означает, что функция переходит через ноль. Обычно ДН строят по модулю в нормированной форме:

.

На рис. 14.2 приведена диаграмма направленности решетки в прямоугольных координатах.

Рис. 14.2. Диаграмма направленности синфазной решетки

Исследуем влияние числа элементов решетки n и ее шага d на диаграмму направленности. Из (14.9) непосредственно следует, что с ростом n или d, или их одновременным ростом, ширина главного лепестка уменьшается. Иными словами, чем больше размер (габариты) решетки, тем выше ее направленные свойства. При этом, как следует из (14.10), с ростом габаритов решетки растет число боковых лепестков. Более детальный анализ показывает, что при достаточно большом числе элементов решетки n, уровень боковых лепестков практически не зависит и от n, и от шага решетки d. Отдельный интерес представляет случай зависимости диаграммы направленности решетки от n и d при ее фиксированных габаритах.

Пусть решетка состоит из n элементов с шагом d. Тогда габариты решетки определяются из формулы , а ширину главного лепестка определим как

.

В качестве примера определим j₀ при условии, что .

Результаты расчета j₀ сведены в табл. 14.1.

Т а б л и ц а 14.1

Результаты расчета j₀

n
d /l	1,5	0,75	0,5	0,25	0,15	0,1
j0, град		26,4		34,85	37,3	38,7

При дальнейшем росте ширина основного лепестка ДН продолжает увеличиваться и стремиться к своему пределу:

.

Таким образом, как следует из табл. 14.1, ДН решетки из двух элементов имеет минимальную ширину основного лепестка по сравнению со сплошной решеткой при равных габаритах. Однако с уменьшением возрастает уровень боковых лепестков. В многоэлементных решетках их уровень намного меньше. Рассмотрим это более подробно. Боковые лепестки формируются теми элементами решетки, поля которых в направлении максимума бокового лепестка отличаются по фазе на угол , где . Очевидно, что определяющую роль для удовлетворения этого условия играют периферийные элементы решетки. Остальные элементы решетки формируют поля в том же направлении со сдвигом по фазе, уменьшая уровень бокового излучения. Например, если решетка состоит из двух элементов с шагом , то нормированный уровень бокового лепестка (Е _б) равен единице (рис. 14.3). При , при тех же габаритах решетки уровень бокового лепестка примерно равняется 0,3. Из сказанного также следует, что для уменьшения уровня боковых лепестков необходимо выбрать закон распределения токов возбуждения с амплитудой, спадающей к краям решетки.

Диаграмма направленности антенной решетки определяется не только множителем системы , но и диаграммой направленности элемента решетки. Потому формула для результирующей ДН имеет вид:

где – ДН элемента решетки.