Арксинус

. Рис. 17

Рассмотрим функцию f, определенную на равенством f (x) =.sin x. Функция y = f (x) строго возрастает на этом сегменте, поэтому она взаимно одно- значно отображает на [–1; 1]; значит, существует обратная функция , определенная на [–1; 1] следующим способом: каждому y Î [–1; 1], сопоставлено принадлежащее число х такое, что . Функцию называют арксинусом и обо- значают символом arcsin. Пере- численные ниже свойства этой функции вытекают из свойств синуса (см. выше), свойств пары взаимно обратных функций и теоремы 1, п.5.5.

1) Множество определения арксинуса есть сегмент [–1; 1], множеством его значений явля- ется .

2) при всяком t Î [–1; 1];

при всяком .

3) Арксинус - функция непрерывная на [–1; 1] и строго возрастающая на этом сегменте от до .

4) График симметричен графику относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис.17.).

Отметим ещё одно свойство арксинуса – это нечетная функция: x Î[–1; 1 ] .

Возьмем произвольное x Î [–1; 1] и обозначим: . По свойству 2 имеем: , т.е. ; = - х,т.е. .. Значит, , и так как синус –нечетная функция, то . Но и лежат на , поэтому из последнего равенства следует , т.е. .