Численное интегрирование

Содержание

12.1. Простейшие квадратурные формулы 2

12.2. Квадратурная формула Симпсона 4

12.3. Правило Рунге 4

12.4. Формула сплайн-квадратуры 5

12.5. Адаптивные квадратурные алгоритмы 6

12.6. Квадратурные формулы интерполяционного типа 7

12.6.1. Определение формулы интерполяционного типа 7

12.6.2. Оценка погрешности формулы интерполяционного типа 8

12.6.3. Симметричные квадратурные формулы 9

12.7. Формулы Ньютона-Котеса 10

12.8. Квадратурные формулы Гаусса 11

12.8.1. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности 11

12.8.2. Условия, обеспечивающие наивысшую точность квадратурной формулы 15

12.8.3. Теоремы о многочлене, определяющем положение узлов формулы Гаусса 21

12.8.4. Свойство коэффициентов формулы Гаусса 22

12.8.5. Оценка погрешности формул Гаусса 22

12.8.6. Связь формул Гаусса с системами ортогональных многочленов 22

12.9. Процесс Эйткена 28

12.10. Интегрирование разрывных функций 29

12.11. Вычисление интегралов с переменным пределом интегрирования 30

12.12. Вычисление несобственных интегралов 30

12.12.1. Интегралы с бесконечными пределами 30

12.12.2. Подынтегральная функция с бесконечными значениями 31

Задачи 32

Ответы 33

12.1. Простейшие квадратурные формулы

Формулы для приближенного вычисления определенных интегралов называют квадратурными формулами.

Пусть речь идет о вычислении интеграла

(12.1)

Предполагаем, что функция f (x) определена и может быть вычислена для любого .

Пусть отрезок интегрирования [ a,b ] разбит на n подотрезков . Пусть, далее, . Ясно, интеграл можно представить в виде суммы

, где . (12.2)

Простой квадратурной формулой называется каждая формула, аппроксимирующая отдельный интеграл .

Составная квадратурная формула – это формула, дающая представление интеграла в виде суммы (12.2).

Две простейшие квадратурные формулы: формула прямоугольников и формула трапеций.

Обозначим:

. (12.3)

Формула прямоугольников аппроксимирует каждый интеграл площадью прямоугольника с основанием и высотой :

.

Составная формула прямоугольников:

. (12.4)

Формула трапеций аппроксимирует каждый интеграл площадью трапеции с основанием и высотой, линейно меняющейся от до :

.

Составная формула трапеций:

. (12.5)

Обозначим . Если интегрируема по Риману, то .

Предположим, что функция имеет пять непрерывных производных, и что значения этих производных не слишком велики. Разложим функцию в ряд Тейлора относительно центра подотрезка :

(12.6)

Найдем интеграл

Проинтегрируем ряд (12.6)

(12.7)

Из этой формулы следует, что при малых погрешность формулы прямоугольников на подотрезке равна плюс члены более высокого порядка.

Найдем погрешность формулы трапеций. Подставим в формулу (12.6) значения и :

,

,

. (12.8)

Умножим (12.8) на и вычтем из (12.7):

Получаем отсюда

Таким образом, при малых погрешность формулы трапеций на подотрезке равна плюс члены более высокого порядка.

Общая погрешность каждой из формул равна сумме погрешностей на отдельных подотрезках. Введем обозначения:

. (12.9)

Тогда

(12.10)

Если все достаточно малы и производная не слишком велика, , и главный член погрешности зависит от . Отсюда следует, в частности, что для многих функций формула прямоугольников примерно в два раза точнее формулы трапеций.

Формулы прямоугольников и трапеций имеют второй порядок точности, они дают точное значение интеграла для линейной подынтегральной функции.

Если каждый подотрезок поделить пополам, то все значения , входящие в главный член погрешности E уменьшатся в 8 раз. Однако, поскольку количество подотрезков удвоится, то E уменьшится примерно в 4 раза. Разность результатов, полученных до и после удвоения числа подотрезков можно использовать для оценки погрешности и уточнения результата. Это возможно и для формулы прямоугольников, и для формулы трапеций, однако, лишь для достаточно гладких подынтегральных функций.

Пример 12.1. С помощью формул прямоугольников и трапеций вычислим интеграл , разбив отрезок интегрирования на два подотрезка. Сравним полученные результаты с точным значением интеграла . Решение в среде Mathcad показано на рис. 12.1. Видим, что погрешность формулы трапеций примерно в 2 раза выше погрешности формулы прямоугольников.