Постановка задачи. Решение краевых задач для обыкновенных

Решение краевых задач для обыкновенных

Дифференциальных уравнений

Содержание

11.1. Постановка задачи 2

11.2. Линейная краевая задача 2

11.3. Метод редукции к задаче Коши 3

11.4. Аппроксимация производных 5

11.5. Метод конечных разностей 6

11.6. Метод пристрелки 10

Задачи 14

Постановка задачи

Краевая задача для уравнения n -го порядка ()

(11.1)

заключается в следующем: найти решение уравнения, удовлетворяющее в заданной системе точек n независимым краевым условиям.

Наиболее часто рассматриваются двухточечные краевые задачи. В таких задачах условия заданы только на концах отрезка , на котором требуется найти решение дифференциального уравнения.

Пример 11.1. Найти решение уравнения второго порядка

,

удовлетворяющее краевым условиям: . Геометрически это означает: найти интегральную кривую, проходящую через точки .

Пример 11.2. Найти решение уравнения второго порядка

,

удовлетворяющее краевым условиям: . Геометрически это означает: найти интегральную кривую, пересекающую прямые под заданными углами: .

В общем случае краевая задача может

а) не иметь решений,

б) иметь единственное решение,

в) иметь несколько решений.

Пример 11.3. Краевая задача имеет бесконечно много решений вида

Пример 11.4. Краевая задача

при имеет единственное решение

;

при не имеет решений.

Линейная краевая задача

Определим линейный дифференциальный оператор:

, (11.2)

где – известные, непрерывные на отрезке функции. Тогда неоднородное линейное дифференциальное уравнение можно записать в следующем виде:

, (11.3)

где – также непрерывная на функция.

Будем рассматривать двухточечные краевые условия. Краевые условия называются линейными, если они имеют вид:

, (11.4)

где – заданные постоянные, причем .

Линейная краевая задача состоит в нахождении решения линейного дифференциального уравнения (11.3), удовлетворяющего линейным краевым условиям (11.4). Предполагается, что краевые условия линейно независимы.

Линейная краевая задача называется однородной, если

Однородная краевая задача всегда имеет тривиальное решение . Разумеется, интерес представляют нетривиальные решения задачи. Для нахождения таких решений в дифференциальное уравнение или в краевые условия вводят параметр и ищут те значения параметра, при которых задача имеет нетривиальные решения. Соответствующие значения называютс я собственными значениями или характеристическими числами задачи. Соответствующие собственным значениям нетривиальные решения называются собственными функциями задачи.

Точное решение краевой задачи возможно лишь в редких случаях. Поэтому рассмотрим далее приближенные методы решения. Будем рассматривать точечно разделенные краевые условия, т.е. условия, каждое из которых содержит лишь одну из абсцисс. Рассмотрим вначале решение линейных краевых задач для уравнений второго порядка.

Метод редукции к задаче Коши

Рассмотрим сведение к начальной задаче линейной краевой задачи для уравнения второго порядка:

, (11.5)

. (11.6)

Предполагается, что функции – непрерывны, и .

Будем искать решение в виде линейной комбинации

, (11.7)

где – ненулевое решение однородного уравнения

, (11.8)

а – некоторое решение неоднородного уравнения (11.5).

Потребуем, чтобы первое из краевых условий (11.6) выполнялось при любых значениях постоянной С:

(11.9)

Для того чтобы равенство (11.9) было справедливо, должны быть выполнены равенства:

, (11.10)

. (11.11)

Для обеспечения справедливости равенств (11.10), (11.11) достаточно, например, положить

, (11.12)

где k – постоянная, отличная от нуля, и, также,

, (11.13)

и

. (11.14)

В частности, можем положить .

Тем самым, исходная краевая задача сведена к двум задачам Коши, где u есть решение однородного уравнения (11.8), удовлетворяющее начальным условиям (11.12), а v – решение неоднородного уравнения (11.5), удовлетворяющее условиям (11.13) или (11.14). При этом, для любого С функция удовлетворяет краевому условию на конце отрезка .

Подберем теперь постоянную С так, чтобы функция удовлетворяла условию на втором конце отрезка :

Отсюда

. (11.15)

Предполагаем, что знаменатель в этом выражении не равен нулю. В этом случае задача имеет единственное решение. Если же оказалось, что , то задача либо совсем не имеет решений, либо имеет их бесконечно много.

Замечание. Если исходное уравнение (11.5) является однородным (), и, при этом, , то решение ищется в виде , где – решение однородного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (11.12), и

. (11.16)

Пример 11.5. Методом редукции к задачам Коши найдем решение краевой задачи:

.

Для решения задачи Коши используем метод Эйлера. При заданном значении шага требуется найти только одно значение неизвестной: .

Ищем решение в виде: , где – решение однородного уравнения, удовлетворяющее левому краевому условию. Очевидно, что это краевое условие выполняется при любом , если . Значение производной можем выбрать произвольно. Положим, например, .

Решаем сформулированную начальную задачу. Преобразуем уравнение к системе нормальных уравнений:

.

Решение: .

По формуле (11.16) вычисляем: . Следовательно, .

Точное решение этой краевой задачи описывается формулой:

, и .

Пример 11.6. Методом редукции к задаче Коши найдем решение краевой задачи:

.

Для решения задачи Коши используем метод Эйлера. При заданном значении шага требуется найти только одно значение неизвестной: .

Ищем решение в виде: , где и – соответственно, решения однородного и неоднородного уравнений. Левое краевое условие выполняется при любом значении , если . Значения производных можно выбрать произвольно, например, . Решаем сформулированные задачи Коши, преобразовав уравнения второго порядка к нормальным системам:

Решаем:

По формуле (11.15) , и .

Точное решение этой краевой задачи равно

, .