Глава II детерминированные сигналы

Теория

Электрической связи

Сигналы связи и их преобразование

(Учебное пособие)

Новосибирск 2004

ПРЕДИСЛОВИЕ

Существование современного человеческого общества немыслимо без высокоорганизованных средств связи и управления. Объемы информации, которые необходимо передавать в настоящее время по различным каналам связи, резко возрастают. При этом постоянно повышаются требования к достоверности и надежности передачи сообщений. Существующая сеть связи - это сеть, единая в организационном и техническом отношениях, позволяющая вести передачу между любыми точками страны любого вида сообщений: телефонных, телеграфных, фототелеграфных, вещания, телевидения, цифровой информации для вычислительных я управляющих машин и систем, разнообразной экономической информации и т.д.

Разработка систем связи, удовлетворяющих современным требованиям, базируется на фундаменте современной общей теории связи, которую часто называют еще статистической теорией связи, обшей теорией информации, теорией передачи и сообщений и т.д.

Теория передачи сообщений изучает общие закономерности, присущие как самим сообщениям, так и их передаче при наличии помех. Основы этой теории были заложены в работах советского ученого В.А. Котельникова по теории помехоустойчивости в 1947г. и американского ученого Клода Шеннона по теории информации в 1949 г.

Теория электрической связи является обобщающей теоретической дисциплиной, основой современной техники связи. Появление этой теории было обусловлено наличием большого количества накопленных и ожидающих обобщения частных знаний в теории и технике связи. Она ставит и решает основные вопросы в общем виде, позволяя не только обозреть, но и предсказать заслуживающие внимания направления дальнейшего развития техники связи.

В настоящем выпуске, являвшемся первой частью учебного пособия по курсу ''Теория электрической связи", рассматриваются сигналы связи и способы их математического описания. Случайный характер принимаемых сигналов делает необходимым использование вероятностных и статистических методов для анализа и синтеза систем связи иих элементов.

ГЛАВА 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

§ 1.1. СИГНАЛЫ, СООБЩЕНИЯ, СИСТЕМЫ СВЯЗИ

Любая система связи является системой передачи, в которой объектом передачи являются сообщения. Всякое сообщение есть совокупность сведений о состоянии какой-либо материальной системы, которые передаются человеком (устройством), наблюдающим эту систему, другому человеку (устройству), не имеющему возможности получить эти сведения путем непосредственных наблюдений. Материальная система вместе с наблюдателем представляет собой источник сообщений (корреспондент).

Источник выдает сообщения из некоторого множества возможных сообщений. Это множество может быть конечным (например, буквенный текст) или бесконечным (например, телефонное сообщение). Каждая буква, например, принадлежит конечному множеству, образующему алфавит, а каждое слово – конечному множеству, образующему словарь. Множество сообщений совместно сих вероятностями появления (априорными вероятностями) называется ансамблем сообщений.

С математической точки зрения всякое сообщение можно представить в виде некоторой функции времени т(t), которая может быть как непрерывной функцией непрерывного времени (например, при передаче речи), так и последовательностью чисел (слов, букв), т.е. функцией дискретного времени.

Чтобы сообщение могло быть передано получателю, необходимо воспользоваться каким-либо переносчиком. В качестве переносчика можно использовать любой физический процесс, например, электрический ток в проводе (проводная связь), электромагнитное поле (радиосвязь), звуковые волны, световой луч и т.д.

Изменяющаяся физическая величина s(t), отображающая передаваемое сообщение m(t), называется сигналом. Очевидно, что каждому сообщению должен соответствовать свой сигнал, чтобы на приемной стороне по принятому сигналу можно было однозначно определить переданное сообщение. Типовая блок-схема передачи сообщений приведена на рис. 1.1.

Рис.1.1 Блок-схема системы связи

Процесс преобразования сообщений в сигналы осуществляется передающим устройством и состоит из одной или нескольких следующих операций: преобразования неэлектрической величины в электрическую, кодирования и модуляции. Первая операция необходима при передаче любых сообщений – дискретных и непрерывных. Например, при передаче речи она состоит в преобразовании звукового давления в пропорционально изменяющийся электрический ток микрофона.

Дискретные сообщения представляют собой случайную последовательность некоторых элементов .Эта последовательность на передающей стороне может быть преобразована по определенному закону в другую последовательность более удобную с технической точки зрения. Операция преобразования последовательности {mп} в последовательность al называется кодированием и осуществляется кодирующим устройством. Способы и цели кодирования могут быть различными.

Чаще всего кодирование состоят в дополнительном расчленении каждого элемента последовательности. При передаче письменного текста, например, каждой букве соответствует некоторая новая последовательность символов , называемая кодовой комбинацией. Если кодовая комбинация содержит n символов, каждый из которых принимает одно из m возможных значений, то число возможных комбинаций будет равно . Число т называется основанием, а n – значностью кода. Если m =2, то код называется двоичным. При передаче дискретных сообщений в телеграфии широко используется, например, пятизначный двоичный код (m =2, n= 5). Этот код обеспечивает передачу сообщений с объемом алфавита буквы. Каждая буква при этом передается последовательностью из пяти токовых или бестоковых посылок (''нулей'' и ''единиц''). Коды, в которых все кодовые комбинации содержат одинаковое число элементов, называются равномерными. Иногда используются и неравномерные коды, каковымявляется, например, код Морзе.

Выше говорилось о так называемом примитивном кодировании, целью которого является упрощение используемой аппаратуры. В последнее время начинает широко использоваться помехоустойчивое кодирование, целью которого является повышение надежности работы систем связи при наличии помех.

При передаче непрерывных сообщений операция кодирования часто отсутствует. Однако в последнее время начинают применяться различные виды импульсной модуляции. При этом в качестве первичного переносчика используется периодическая последовательность импульсов. В этом случае оказываются возможными дискретные способы передачи и кодирования непрерывных сообщений.

Операции кодирования обычно осуществляются электрическими схемами. Различным последовательностям кодовых символов будут соответствовать последовательности элементов первичных электрических сигналов U(t), которые называют немодулированными или видеосигналами.

Процесс преобразования сообщений в сигналы s(t) заканчивается модуляцией некоторого переносчика. Модуляция заключается в изменении какого-либо параметра переносчика . Модулированный параметр а получает приращение, пропорциональное модулирующему сигналу:

где - максимальное абсолютное приращение модулируемся параметра, а величина представляет собой относительное изменение этого параметра и называется коэффициентом модуляции. При передаче дискретных сообщения модулируемый параметр принимает одно из нескольких возможных дискретных значений. В этом случае вместо термина "модуляция'' часто используется термин "манипуляция". Число возможных видов модуляции равно числу параметров переносчика. Например, в случае синусоидального переносчика возможны амплитудная, фазовая и частотная виды модуляции.

Операцию формирования сигнала кратко можно представить в виде

(1.1.1)

где F - нелинейная операция, включающая в себя операции кодирования и модуляции.

Сформированный таким образом сигнал с выхода передатчика поступает в линию связи. Линней связи называется физическая среда, используемая для передача сигналов от передатчика к приемнику. Этой средой может быть физическая цепь (пара проводов, кабель в проводной связи) или область пространства, в котором распространяются электромагнитные волны (радиосвязь в любом диапазоне частот, в том числе и оптическом).

В реальных линиях связи всегда присутствуют помехи ξ(t) различного происхождения. Взаимодействие сигнала и помехи можно представить в виде некоторой линейной или нелинейной операции

(1.1.2)

На вход приемника поступает искаженный помехой сигнал х(t), по которому необходимо определить переданное сообщение. Следовательно, приемник должен осуществить операции, обратные операциям на передающей стороне: демодуляцию и декодирование. Демодуляцию принятого сигнала осуществляет демодулятор, который обрабатывает принятые сигналы по определенным правилам и производит опознавание переданных элементов сигнала (кодовых символов). Декодирующие устройство преобразует кодовые комбинации в элементы сообщения. В целом действие системы связи можно описать выражением:

(1.1.3)

где W - нелинейный оператор, включающий в себя операции демодуляции и декодирования.

Очевидно, что в идеальном случае принятое сообщение должно точно соответствовать переданному, т.е. . Однако наличие помех в линии связи вызывает принципиальную неоднозначность при восстановлении сообщения на приемной стороне. Поэтому всегда .

Введем еще некоторые определения.

Совокупность технических средств, предназначенных для передачи сообщения от источника к получателю, называется каналом связи. В него входят передатчик, линия связи и приемник. Любой канал характеризуется тремя основными параметрами:

а) полосой частот , которую может пропустить канал,

б) временем Т, в течение которого канал предоставлен для работы,

в) допустимым диапазоном уровней сигнала в канале (динамический диапазон).

Канал связи вместе с источником и получателем сообщений образует систему связи. Системы связи друг от друга могут отличаться типом передаваемых сообщений, методами преобразования сообщений в сигналы и восстановления сообщений по принятым сигналам физической средой, используемой в качестве линии связи, и т.д.

По типу передаваемых сообщений системы связи могут быть непрерывными и дискретными. Телеграфные системы связи являются типичным примером дискретных систем. Системы телефонии, радиотелефонии, телевидения при аналоговых (непрерывных) способах модуляции относятся к непрерывным системам связи. В последнее время для передачи непрерывных сообщений используются системы с различными видами импульсной модуляции. Такие системы можно отнести к типу смешанных систем.

В дискретных системах связи при демодуляции и декодировании сигналов необходимо знание длительности, начала и конца каждого элемента комбинации и всей комбинации в целом, т.е. необходима синфазность работы передающего и приемного устройств. По способу поддержания синфазности дискретные системы связи можно разделить на синхронные и асинхронные. В синхронных системах связи передатчик и приемник работают синхронно, для чего используется специальный канал синхронизации. Примером синхронных систем являются телеграфные системы связи, использующие пятизначный двоичный код Бодо. Примером асинхронных систем связи являются стартстопные системы, в которых фазирование работы приемника и передатчика осуществляется специальными дополнительными элементами в начале (стартовый) и в конце (стоповый) каждой кодовой комбинации.

Если по системе связи передается несколько сообщений от различных источников, то она называется многоканальной.

Если по каналу связи сигналы могут передаваться только в одном направлении, то канал называется симплексным. Если же сигналы могут одновременно передаваться в обоих направлениях, токанал называется дуплексным. Дуплексные системы связи по сути дела имеют два канала (прямой и обратный), в общем случае не идентичных. В некоторых случаях в таких системах передача сообщений осуществляется лишь в одном направлении, а обратный канал используется для контроля и защиты от ошибок при передаче сообщений в прямом направлении. Такие системы называются системами с обратной связью. Обратная связь позволяет значительно повысить надежность работы и используется в системах связи и автоматического управления. В последних сигнал обратного канала воздействует на некоторое устройство для подстройки его параметров.

§ 1.2 ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ СВЯЗИ

Как уже отмечалось выше, передаваемые сигналы однозначно связаны с передаваемыми сообщениями. Математическим описанием сигнала является некоторая функция времени s(t). Сигналы связи можно классифицировать по нескольким признакам.

В теории сообщений сигналы в первую очередь принято делить на детерминированные (регулярные) и случайные. Сигнал называется детерминированным, если он может быть описан известной функцией времени. Следовательно, под детерминированным понимается такой сигнал, который соответствует известному передаваемому сообщению и который можно точно предсказать заранее за сколь угодно большой промежуток времени. Детерминированные сигналы принято подразделять на периодические, почти периодические и непериодические.

В реальных условиях сигнал в месте приема заранее неизвестен и не может быть описан определенной функцией времени. Принимаемые сигналы имеют непредсказуемый, случайный характер вследствие нескольких причин. Во-первых, потому, что регулярный сигнал не может нести информации. Действительно, если бы о передаваемом сигнале было известно все, то его незачем было бы передавать. Обычно на приемной стороне известны лишь некоторые параметры сигнала. Во-вторых, сигналы имеют случайный характер вследствие различного рода помех как внешних (космических, атмосферных, индустриальных и др.), так и внутренних (шумы ламп, сопротивлений и т.д.). Принимаемый сигнал искажается также вследствие прохождения через линию связи, параметры которой часто являются случайной функцией времени.

Моделью сигнала связи является не одна функция времени s(t), а набор некоторых функций, представляющих собой случайный процесс. Каждый конкретный сигнал является однойиз реализаций случайного процесса, которую можно описать детерминированной функцией времени. Часто ансамбль возможных сообщений (сигналов) получателю известен. Задача состоит в том, чтобы по принятой реализации смеси сигнала с помехами определить, какое сообщение из заданного ансамбля было передано.

Таким образом, передаваемый сигнал необходимо рассматривать как множество функций, являющихся реализациями случайного процесса. Статистические характеристики этого процесса полностью описывают свойства сигнала. Однако решение многих конкретных задач становится в этом случае затруднительным. Поэтому изучение сигналов и их прохождение через различные цепи целесообразно начинать с отдельных реализации как детерминированных функций.

Полное описание сигнала не всегда необходимо. Иногда для анализа бывает достаточно нескольких обобщенных характеристик, наиболее полно отражающих свойства сигнала. Одной из важнейших характеристик сигнала является его длительность Т, которая определяет необходимое время работы канала и просто связана с количеством сведений, передаваемых этим сигналом. Второй характеристикой является ширина спектра сигнала F, которая характеризует поведение сигнала на протяжении его длительности, скорость его изменения. В качестве третьей характеристики можно было бы ввести такую, которая определяла бы амплитуду сигнала на протяжении его существования, например, мощность. Однако мощность сигнала Рс сама по себе не определяет условия его передачи по реальным каналам связи с помехами. Поэтому сигнал принято характеризовать отношением мощностей сигнала и помехи:

которое называют превышением сигнала над помехой или отношением сигнал/шум.

Часто используется также характеристика сигнала, называемая динамическим диапазоном,

которая определяет интервал изменения уровней сигнала (например, громкости при передаче телефонных сообщения) и предъявляет соответствующее требования к линейности тракта. С этой стороны сигнал можно охарактеризовать так называемым пикфактором

представляющим собой отношение максимального значения сигнала к действующему. Чем больше пикфактор сигнала, тем хуже будут энергетические показатели радиотехнического устройства.

С точки зрения произведенных над сообщениями преобразований сигналы принято делить на видеосигналы (немодулированные) и радиосигналы (модулированные). Обычно спектр видеосигнал сосредоточен в низкочастотной области. При использовании модуляции видеосигнал называют модулирующим. Спектр радиосигнала сосредоточен около некоторой средней частоты в области высоких частот. Радиосигналы могут передаваться в виде электромагнитных волн.

В заключение параграфа коротко охарактеризуем сигналы, используемые при различных видах связи. На рис. 1.2 показан видеосигнал в виде непрерывной импульсной последовательности. Такой сигнал формируется при телеграфных видах работы с использованием пятизначного двоичного кода. Ширина полосы частот, используемая для передачи таких сигналов, зависит от скорости телеграфирования и равна, например, 150-200 Гц при использовании телеграфного аппарата СТ-35 и передаче 50 знаков в секунду. При передаче телефонных сообщений сигнал представляет собой непрерывную
функцию времена, как это показано на рис. 1.2 б.

В коммерческой телефонии сигнал обычно передается в полосе частот от 300 Гц до 3400 Гц. В вещании для качественной передачи речи и музыки требуется полоса частот примерно от 40 Гц до 10 кГц. При передаче неподвижных изображений с помощью фототелеграфа сигнал имеет вид, показанный на рис. 1.З а.

Он представляет собой ступенчатую функцию. Число возможных уровней равно числу передаваемых томов и полутонов. Для передачи используют один или несколько стандартных телефонных каналов. При передаче подвижных изображений в телевидении с использованием 625 строк разложения требуется полоса частот от 50 Гц до 6 МГц. Сигнал при этом имеет сложную дискретно – непрерывную структуру. Модулированные сигналы имеют вид, показанный на рис.1.3 б (при амплитудной модуляции).

§ 1.3 ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПЕРЕДАЧИ СИГНАЛОВ

Как уже отмечалось выше, объектом передачи в системах связи являются сообщения, которые значительно отличаются от других объектов передачи, например, электрической энергии в системах электропередачи. В последних основная задача заключается в передаче энергии потребителю с минимальными потерями. Передача сообщения также сопровождается передачей энергии, но не в передаче энергии состоит основное назначение системы связи. Энергетический коэффициент полезного действия систем связи (особенно радиосвязи) исчезающе мал. Очевидно, что для оценки эффективности систем связи нужны особые критерии. Одним из таких критериев может служить количество сведений, содержащихся в сообщении. Рассмотрим несколько примеров.

В телеграфных системах связи сообщения представляют собой некоторый текст. Мерой количества сведений в этом случае может служить количество слов или букв. При передаче телефонных сообщений количество сведений будет определяться не только количеством слов, но и интонацией, тембром речи, диапазонов громкости звука. Аналогично, в телевизионном сообщении количество сведений будет определяться степенью сложности изображения. Определить количество сведений в любом сообщении позволяет теория информация, которая составляет часть курса теории передачи сигналов. Одной из характеристик системы связи является максимально возможное количество сведений, передаваемых (или принимаемых) в единицу времени. Определенная таким образом величина называется пропускной способностью системы связи.

При наличии помех передаваемые сообщения искажаются. Большой уровень помех может привести к невозможности приема переданного сообщения. С этой точки зрения к системам связи предъявляется требование верности передачи или степени соответствия принятого сигнале переданному. Последняя зависит, во-первых, от исправности аппаратуры, учет которой не является предметом изучения курса теории передачи сигналов, и во-вторых, от собственных свойств системы связи, определяемых способами передачи и приема сигналов. Способность системы связи противостоять вредному влиянию помех, обусловленная ее собственными свойствами, называется помехоустойчивостью системы связи. Помехоустойчивость систем связи является другой важнейшей характеристикой системы связи. В качестве количественной меры помехоустойчивости при передаче дискретных сообщений принято использовать вероятность ошибки, которая определяет относительное число неправильно принятых элементов сигнала. При передаче непрерывных сообщений помехоустойчивость оценивают величиной уклонения принятого сообщения от переданного. Величина уклонения определяется при этом по какому-либо критерию, например среднеквадратичному:

где волнистая черта сверху означает усреднение по времени.

Таким образом, основные требования, предъявляемые к системам связи, заключаются в повышении пропускной способности и помехоустойчивости. Эти требования противоречивы, так как можно повысить пропускную способность в ущерб помехоустойчивости и наоборот. По-видимому, принципиально можно спроектировать такую оптимальную систему связи, которая по некоторому критерию лучше других будет удовлетворять поставленным требованиям.

Проектирование системы связи, обеспечивающей наибольшие пропускную способность и помехоустойчивость, требует учета многих факторов. В общей постановке задача состоит согласно (1.1.3) в выборе такого алгоритма (правила) работы системы,

чтобы при максимальной пропускной способности получить выходное сообщение, минимально отличающееся от переданного с точки зрения некоторого критерия. Синтез такой оптимальной системы требует совместного выбора системы сигналов (операций кодирования и способа модуляции) и способов приема (демодуляции и декодирования). В таком общем виде данная задача еще не решена.

Поэтому для получения практических результатов данную задачу приходится расчленять и синтезировать систему по частям при некоторых фиксированных параметрах. Например, при заданном произвольно способе приема можно выбрать оптимальную систему сигналов, т.е. способы кодирования и модуляции. При выбранной системе сигналов задача сводится к построению оптимального приемника. Искомым является оператор W.

При раздельном выборе операторов F и W необходимо руководствоваться следующими принципами. Во-первых, приемник должен наилучшим образом подавлять помехи, т.е. обеспечивать максимальную помехоустойчивость. Система сигналов должна выбираться такой, чтобы сигналы, отображающие различные сообщения, как можно более отличались друг от друга, чтобы помехи как можно менее влияли на их различие. Таким способом можно выбрать наилучшие коды, наиболее помехоустойчивые виды модуляции, построить оптимальный приемник, т.е. получить оптимальные решения для отдельных звеньев системы связи. Такой способ позволяет синтезировать если не наилучшие теоретически, то, по крайней мере, хорошие и работоспособные системы связи.

Именно в таком направлении и развивалась общая или статистическая теория связи. В 1941 г. советский математик А.Н.Колмогоров разработал математические основы теории оптимальных по критерию минимума среднеквадратичной ошибки линейных цепей (фильтров), развитой в дальнейшем Н.Винером. В 1947 г. В.А. Котельников заложил основы теории помехоустойчивости в своей выдающейся работе ''Теория потенциальной помехоустойчивости''. В этой работе впервые была поставлена и решена задача построения идеального приемника, который обеспечивает потенциальную, т.е. максимально возможную помехоустойчивость. В 1949 г. американский ученый К.Шеннон положил начало теории информации. Он доказал возможность такого кодирования, которое позволяет получить максимально возможную скорость передачи сообщений со сколь угодно малой вероятностью ошибочного приема всего сообщения.

Эти работы и положили начало новой науке – общей теории связи или обшей теории информации. Теория информации возит благодаря проникновению в теорию и технику связи точных математических методов. В узком смысле слова теория информации занимается отысканием оптимальных способов кодирования. В широком смысле слова теория информации - это теория, использующая вероятностные и статистические методы для анализа и синтеза систем связи и их элементов. Использование этих методов в качестве основного математического инструмента объясняется тем, что сигналы связи являются не регулярными, а случайными процессами.

Теория вероятностей и теория случайных процессов являются главным математическим инструментом при анализе прохождения сигналов и помех через системы связи и их элементы. Методы математической статистики, особенно теории статистических решений и теории опенок, являются основными при синтезе и сравнении систем связи, удовлетворяющих определенным критериям качества.

Как отмечалось выше, отдельные реализации сигнала можно описать детерминированными (регулярными) функциями времени. Поэтому для первоначального исследования физических процессов в устройствах передачи и приема электрических сигналов используются также и классические методы, например, метод гармонического анализа (ряды и интеграл Фурье).

Ниже рассматриваются методы математического описания сигналов связи.

Глава II ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ СИГНАЛЫ

§ 2.1 СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

Как отмечалось в главе I, сигналы связи по своей природе являются случайными процессами. Однако, отдельные реализации случайного процесса и некоторые специальные (например, испытательные) сигналы можно считать детерминированными функциями. Последние принято делить на периодические, почти периодические и непериодические, хотя строго периодических сигналов в реальных условиях не существует.

Сигнал называется периодическим, если он удовлетворяет условию

(2.1.1)

на интервале , где Т – постоянная величина, называемая периодом, а к - любое целое число.

Непериодическим называется сигнал, который не удовлетворяет условию (2.1.1.) на всей оси времени. Он задается на конечном или полубесконечном интервале времени, а за пределами этого интервала принимается тождественно равным нулю. Непериодический сигнал можно рассматривать как периодический, но с бесконечно большим периодом. Одной из характеристик непериодического сигнала является его длительность, под которой понимают либо длительность соответствующую всему сообщению или отрезку сообщения, либо длительность отдельного элемента (например, элемента кодовой комбинации).

Почти периодическим сигналом называется такой, для которого период можно указать лишь приближенно. Такими сигналами являются, например, сигналы, которые могут быть представлены в виде суммы гармонических составляющих с произвольными (не кратными) частотами.

В теории сигналов широко используется спектральное представление сигналов. Спектральным представлением детерминированного сигнала s(t) называется его представление в виде суммы конечного или бесконечного числа гармонических составляющих. Основой спектрального представления сигналов является преобразование Фурье. Рассмотрим сначала спектральное представление модулирующих или видеосигналов.

Как известно из математики, любую периодическую функцию с периодом Т, удовлетворяющую условиям Дирихле, можно представить в виде ряда Фурье

(2.1.2)

где а коэффициенты – определяются по формулам

(2.1.3)

Величина (2.1.4)

определяет среднее значение сигнала за период и называется постоянной составляющей. Частота называется основной частотой сигнала, а кратные ей частоты – высшими гармониками.

Выражение (2.1.2) можно переписать следующим образом

(2.1.5)

где (2.1.6)

Обратные зависимости для коэффициентов имеют вид

(2.1.7)

При форме записи (2.1.5) коэффициент выражает амплитуду, а - фазу к-ой гармоники. Совокупность коэффициентов носит название спектра амплитуд, а совокупность значений - спектра фаз.

На рис.2.1 приведен график спектра амплитуд периодического сигнала. Аналогичный вид имеет и спектр фаз. Спектр периодической функции называется линейчатым или дискретным, так как состоит из отдельных линий, соответствующих частотам

Если функция s(t), описывающая сигнал, четная, т.е. то согласно (2.1.3) все , и соответствующий ей ряд Фурье будет содержать только косинусоидальные члены. Если функция s(t) - нечетная, т.е. , то в ряде Фурье будут только синусоидальные члены. С использованием выражения

вместо (2.1.5) можно записать

(2.1.8)

Согласно выражениям (2.1.3) и (2.1.6) коэффициенты и четны относительно к, а коэффициенты и фазовые углы - нечетны, т.е.

(2.1.9)

Поэтому вторую сумму в (2.1.8) можно представить в следующем виде:

(2.1.10)

Объединяя обе суммы выражения (2.1.8), получим так называемую комплексную или показательную форму ряда Фурье

(2.1.11)

где коэффициенты называются комплексными амплитудами гармоник и связаны с коэффициентами и , а также и соотношениями

(2.1.12)

На основании выражений (2.1.12) и (2.1.3) можно также записать

(2.1.13)

Сравнивая (2.1.5) и (2.1.13), замечаем, что при использовании комплексной записи ряда Фурье отрицательные значения К позволяют говорить о составляющих с ''отрицательными'' частотами. Однако появление отрицательных частот имеет формальный характер и связано с использованием комплексной формы записи для представления действительного сигнала. В самом деле, гармонической составляющей с ''физической'' частотой в выражении (2.1.11) соответствует следующая пара слагаемых

Эта пара слагаемых, вследствие четности модуля и нечетности фазы , дает в сумме вещественную гармоническую функцию с положительной частотой:

(2.1.14)

Благодаря удвоению числа составляющих при использовании показательной формы записи ряда Фурье амплитуды их в 2 раза уменьшаются. Использование такой записи в значительной степени упрощает математические выкладки при исследовании прохождения сигналов через различные линейные системы.

Вычислим теперь среднюю за период мощность сигнала

(2.1.15)

где волнистая черта сверху означает усреднение по времени. Подставляя (2.1.2) в (2.1.15) и учитывая, что

а интегрирование за период исходной функции Т гармонических колебаний с удвоенной частотой и произведений косинусов и синусов с аргументами неодинаковой кратности дает нуль, вместо (2.1.15) получим

(2.1.16)

Это выражение носит название равенства Парсеваля, которое показывает, что средняя мощность сигнала равна сумме средних мощностей его частотных составляющих и не зависит от фазовых соотношений между отдельными составляющими.

СПЕКТРЫ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Разложение в ряд Фурье может быть обобщено и на случай непериодического сигнала. Действительно, пусть имеется периодический сигнал с периодом Т и определенными амплитудным и фазовым спектром (рис.2.2).

Если функция остается неизменной на интервале , то непериодическую функцию можно рассматривать как предельный случай периодической функции с неограниченно возрастающим периодом. При увеличении Т частота первой гармоники уменьшается и спектральные линии на рис.2.2 б располагаются чаще. В пределе, при , интервал между линиями в спектре сокращается до нуля, т.е. спектр вместо дискретного становится сплошным, непрерывным. Амплитуды гармоник , согласно (2.1.13), становятся бесконечно малыми. Математически это можно выразить следующим образом. Введем вместо (2.1.13) функцию

(2.1.17)

Тогда вместо (2.1.11) получим

(2.1.18)

При частота может принимать любое значение ω,

Поэтому вместо (2.1.17) и (2.1.18) окончательно получим

(2.1.19)

(2.1.20)

Эти два выражения носят название пары преобразований Фурье, которая связывает между собой функцию времени s(t) и комплексную функцию частоты s(jω).

Физический смысл формулы (2.1.20) состоит в том, что непериодический сигнал s(t) имеет непрерывный спектр, т.е. представляется бесконечной суммой гармонических колебаний с бесконечно малыми комплексными амплитудами (ср.(2.1.11))

(2.1.21)

Функция имеет размерность и показывает амплитуду сигнала, приходящуюся на единицу полосы частот в 1 Гц. Поэтому эта непрерывная функция частоты называется спектральной плотностью комплексных амплитуд или просто спектральной плотностью.

Аналогично (2.1.21) спектральную плотность комплексных амплитуд можно представить в виде

(2.1.22)

где и (2.1.23)

(2.1.24)

Функция называется модулем спектральное плотности или спектральной плотностью амплитуд, а – спектральной плотностью фаз.

Отметим одно важное обстоятельство. Сравнивая выражения (2.1.13) и (2.1.17), замечаем, что при они отличаются только постоянным множителем, а

(2.1.26)

т.е. комплексные амплитуды периодической функции с периодом Т можно определять по спектральной характеристике непериодической функции такого же вида, заданной в интервале 0 - Т. Сказанное справедливо и по отношению к модулю спектральной плотности:

(2.1.26)

Это соотношение формулируется следующим образом: огибающая сплошного амплитудного спектра непериодической функции и огибающая амплитуд линейчатого спектра периодической функции совпадают по форме и отличаются только масштабом (рис.2.2)

Вычислим теперь энергию непериодического сигнала. Умножая обе части равенства (2.1.20) на s(t) и интегрируя в бесконечных пределах, получим

(2.1.27)

где s(jω) и s(-jω) - комплексно-сопряженные величины. Так как

то

(2.1.28)

Это выражение называется равенством Парсеваля для непериодического сигнала и аналогично (2.1.16), однако в отличие от последнего оно определяет не среднюю мощность, а полную энергию сигнала.

Из (2.1.28) видно, что есть не что иное, как энергия сигнала, приходящаяся на 1Гц полосы частот около частоты ω.

Поэтому функцию иногда называют спектральной плотностью энергии сигнала s(t).

В заключение параграфа приведем без доказательства несколько теорем о спектрах, выражающих основные свойства преобразования Фурье.

1. Теорема сложения. Спектр суммы нескольких сигналов равен сумме спектров этих сигналов: (2.1.29)

В справедливости этого выражения легко убедиться, используя выражения (2.1.19) и (2.1.20).

2. Теорема запаздывания. Спектральная плотность сигнала , полученного при сдвиге сигнала s(t) по оси времени на , определяется выражением

т.е. сдвиг функции по оси времени приводит к появлению фазового сдвига для всех частотных составляющих, равного .

В справедливости последнего выражения легко убедиться, заменив в (2.1.19) t на .

3. Теорема смещения. Если - спектр функции s(t) то спектру - , полученному путем сдвига исходного спектра по оси частот на величину , соответствует функция

(2.1.30)

4. Теорема о спектрах производной и интеграла. Спектры производной и интеграла от функции s(t) определяются соответственно выражениями

(2.1.31)

5. Теорема о спектре свертки. Сверткой двух функций и называется интеграл

(2.1.32)

Спектр свертки двух функций равен произведению спектров свертываемых функций:

(2.1.33)

В частном случае, когда , то

(2.1.34)

Используя последнее выражение, легко получить ранее введенное равенство Парсеваля (2.1.28).

§ 2.2 СПЕКТРЫ НЕКОТОРЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВ

Рассмотрим некоторые конкретные примеры использования преобразования Фурье для анализа импульсных сигналов.

1 Одиночный прямоугольный импульс. Пусть имеется прямоугольный импульс длительностью и амплитудой h (рис.2.3).

Для такого импульса прямым преобразованием Фурье находим

(2.2.1)

где – площадь импульса. График этого спектра для положительных частот показан на рис. 2.3. Спектральная плотность обращается в нуль при , а при ω=0, s(ω)=q.

Замечаем, что при уменьшении длительности импульса функция s(ω) растягивается, т. е. ширина спектра увеличивается. При увеличении ширина спектра уменьшается.

Если ограничить спектр прямоугольного импульса первым нулем спектральной плотности, т.е. круговой частотой , то для произведения длительности импульса на ширину спектра получим

Это равенство является частным случаем более общего равенства справедливого для всех импульсных сигналов:

(2.2.2)

согласно которому произведение ширины спектра сигнала на его длительность есть величина постоянная, близкая к единице. Существует несколько определений длительности импульса и ширины спектра. Согласно одному из них под длительностью импульса (шириной спектра) понимается промежуток времена (полоса частот), в котором сосредоточена подавляющая часть энергии импульса.

2 Колокольный (гауссов) импульс. Колокольным называется импульс, который описывается функцией

(2.2.3)

Для спектральной плотности такого импульса с использованием преобразования Фурье получим

(2.2.4)

Графики колокольного импульса и модуля его спектра показаны на рис. 2.4.

Первой особенностью такого импульса является то, что спектральная плотность его совпадает по форме с временной функцией, т.е. является также гауссовой кривой. Другой особенностью такого импульса является то, что из всех возможных форм импульсов он имеет наименьшее произведение длительности на ширину спектра

3 Единичный импульс. Единичным импульсом или дельта-функцией называется функция бесконечно малой длительности с конечной площадью, равной единице:

Такую функцию можно рассматривать как предел прямоугольного импульса с длительностью τ и высотой при . Устремляя в (2.2.1) , для спектральной плотности единичного импульса получим

(2.2.5)

Этот же результат можно получить и обычным способом:

(2.2.5')

так как при всех значениях , а при экспоненциальный множитель обращается в единицу. Здесь использовалось так называемое фильтрующее свойство δ-функции, согласно которому

(2.2.6)

Таким образом, спектр единичного импульса является сплошным и равномерным с единичной спектральной плотностью вплоть до бесконечно больших значений частоты.

Единичный импульс является математической абстракцией. Физически можно реализовать только короткий импульс, т.е. импульс очень малой длительности τ, с площадью, равной q. Спектр такого импульса определятся выражением

При малых τ величина и

(2.2.7)

Следовательно, короткий импульс любой формы имеет равномерный спектр вплоть до частот порядка (пока выполняется условие ). Далее спектральная плотность начинает убывать.

4 Единичная функция. Единичная функция, единичный скачок или функция включения записывается в виде

(2.2.8)

Заметим, что рассмотренный ранее единичный импульс можно рассматривать как производную единичной функции:

а единичную функцию можно выразить интегральным соотношением

(2.2.9)

Используя теорему о спектре интеграла (2.1.31) а выражение (2.2.5), получим

(2.2.10)

Модуль спектра этой функции есть . Зависимость его от частоты показана на рис.2.5 б.

Единичная функция широко используется в качестве испытательного сигнала при исследовании переходных процессов в электрических цепях. Напомним, что отклик цепи h(t) на единичную функцию называется переходной характеристикой.

5 Периодическая последовательность прямоугольных импульсов. Рассмотрим

пульсов. Рассмотрим периодическую последовательность прямоугольных импульсов с длительностью τ и периодом Т (Рис.2.6). Используя (2.1.13). для такой последовательности получим

(2.2.11)

Этот же результат можно было бы получить и из выражения (2.2.1) используя соотношение (2.1.26), согласно котором спектральная плотность s(ω) одиночного импульса длительностью τ точностью до постоянного множителя совпадает с огибающей спектра амплитуд периодической последовательности таких же импульсов с периодом следования Т. График модуля спектра (2.2.1) для положительных частот показан на рис.2.6.

На основании (2.1.11) и (2.2.11) периодическая последовательность прямоугольных импульсов разлагается в ряд Фурье следующим образом

(2.2.12)

Отметим теперь следующее обстоятельство. Если при неизменной длительности импульса увеличивается период Т последовательности, то расстояние между спектральными линиями уменьшается, расстояние же между нулями огибающей спектра, равное остается неизменным. При неизменной длительности периода Т и изменении длительности импульса будет меняться расстояние между нулями огибающей спектра.

Число гармоник, укладывающихся в интервале или между любыми двумя соседними нулями, будет определяться величиной

(2.2.13)

Величина Q, равная отношению длительности периода к длительности импульсов, называется скважностью периодической импульсной последовательности.

6 Одиночный радиоимпульс. Радиоимпульсом называется импульс, временная функция которого записывается в виде

(2.2.14)

где τ - длительность импульса, a(t) – огибающая амплитуд, - частота, а - начальная фаза высокочастотного колебания, период которого . Спектральная плотность радиоимпульса в соответствии с (2.1.19) будет равна

(2.2.15)

где

(2.2.16)

– спектральные плотности огибающей импульса a(t), смещенные по оси частот на постоянную величину (ср.с (2.1.30)).

Таким образом, спектральная плотность радиоимпульса полностью определится спектральной плотностью его огибающий. Можно показать, что при и для большинства радиоимпульсов выполняется условие

(2.2.17)

Поэтому с достаточной точностью спектральную плотность одинокого радиоимпульса можно определять по формуле

(2.2.18)

Проиллюстрируем сказанное на примере радиоимпульса с прямоугольной огибающей (рис.2.7):

(2.2.19)

Из (2.2.15) и (2.2.16) получим

(2.2.20)

откуда для модуля и фазы спектральной плотности находим

(2.2.21)

График модуля спектральной плотности показан на рис. 2.7

Как и следовало ожидать, отрезок гармонического колебания имеет сплошной спектр. При неограниченном увеличении длительности импульса τ получим гармоническое колебание в точном смысле определения периодическое функции. Сплошной спектр колебания при этом вырождается в одну спектральную линию на частоте .

§ 2.3 МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ИХ СПЕКТРЫ

Как уже отмечалось в главе 1, модуляция заключается в изменении одного или нескольких параметров переносчика в соответствии с передаваемым сообщением. При использовании в качестве переносчика высокочастотного гармонического колебания модулированный сигнал в общем случае можно представить в виде

(2.3.1)

В зависимости от того, какой из параметров а, ω или φ модулируется, различают три вида модуляции: амплитудную (АМ), частотную (ЧМ) и фазовую (ФМ). Всякое модулированное колебание несинусоидально и имеет сложный спектр. Рассмотрим перечисленные выше виды модуляции подробно.

АМПЛИТУДНАЯ МОДУЛЯЦИЯ

При амплитудной модуляции по закону управляющего сигнала и(t) изменяется амплитуда колебаний:

(2.3.2)

где – максимальное абсолютное изменение амплитуды, а – относительное изменение амплитуды, называемое коэффициентом модуляции.

АМ колебание записывается в виде

(2.3.3)

и для случая модуляции чистым тоном имеет вид, показанный на рис.2.8. Очевидно, чтобы не было искажений, коэффициент модуляции должен быть меньше единицы. Из графика для АМ колебаний видно, что

откуда имеем

(2.3.4)

Определим спектр АМ колебаний при модуляции чистым тоном. Это можно сделать с помощью преобразования Фурье. Однако проще его подучить с помощью простых тригонометрических преобразований. Действительно, полагая в (2.3.3) и(t)= соsΩ t,

Получим

(2.3.5)