Функция с одним логарифмом

Первая фишка идеально подходит для простых функций, в которых стоит только один логарифм. Она работает в тех задачах, где требуется найти значение функции (а не точку экстремума). В этом случае:

Выражение под знаком логарифма должно равняться единице. Потому что ln 1 = 0.

Откуда берется это требование? А вы попробуйте сосчитать, например, ln 2 или ln 0,5. В обоих случаях получится иррациональное число, которое нельзя записать в ответ. И только ln 1 = 0 — нормальное число.

Задача [ЕГЭ 2012 математика. Задача B14. Шестаков С. А.]

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−1,5; 0]:

y = 3ln(x + 2) − 3x + 10.

Решение

Как видим, в задаче есть ровно один логарифм: ln(x + 2). Его аргумент должен быть равен единице:

x + 2 = 1;
x = −1.

Поскольку нас просят найти наибольшее значение функции, число x = −1 — не что иное как точка максимума. Находим значение функции в этой точке:

y (−2) = 3ln(−1 + 2) − 3 · (−1) + 10 = 3 · 0 + 3 + 10 = 13

Ответ 13

Задача [ЕГЭ 2012 математика. Задача B14. Шестаков С. А.]

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [11/12; 13/12]:

y = 3x² − 11x + 5ln x + 7

Решение

Снова приравниваем аргумент логарифма к единице:

x = 1

Подставляем это число в исходную функцию:

y (1) = 3 · 1² − 11 · 1 + 5 ln 1 + 7 = 3 − 11 + 5 · 0 + 7 = −1

Ответ −1

Вдумчивый читатель возразит, мол, существует замечательное число e ≈ 2,7. И для него ln e = 1, ln e² = 2 и т.д. Но составитель задач должен быть настоящим маньяком, чтобы «втиснуть» в функцию это число. Встреть такую задачу на ЕГЭ почти нереально.