Формулы дифференцирования основных элементарных функций

№ пп	с =const, х — независимая переменная, u = u (x) — диф­ференцируемая функция
	с ¢= 0
	х ¢= 1

Замечание. Формулы записаны с учётом правила дифференцирования сложной функции.

Производной n-го порядка называется производная от производной (n –1)-го порядка. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.

Производная второго порядка или

Производная третьего порядка или и т. д.

Задание 4. Найти производные функций:

а) б) в) г)

Решение.

а) Используя правила I, III и формулу (3), получим:

б) Используя правила дифференцирования произведения функций II, разности I, формулы (5), (7), (8) и учитывая, что независимая переменная есть t, т. е. t ¢=1, получим:

в) Сложная степенная функция, независимая переменная есть v,
т. е. v ¢=1; используя формулу (3), получим:

г) Используя правила дифференцирования частного IV, суммы I, III
и формулы (3), (14), учитывая, что t ¢=1, получим:

Задание 5. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой х ₀=2.

Используем уравнения касательной (2) и нормали (3):

1)

2)

Подставим в уравнения и получим:

или — уравнение касательной.

или — уравнение нормали.

Задание 6. Найти дифференциалы первого и второго порядков функции

Решение. Для дифференциала первого порядка функции справедлива формула т. е. дифференциал функции равен произведению производной от функции на дифференциал независимой переменной. Если х – независимая переменная, то дифференциал второго порядка определяется формулой

Найдём производную первого порядка а затем второго

Тогда дифференциалы первого и второго порядков:

Задание 7. Дана функция издержек производства продукции

(ден. ед.), где х – количество выпускаемой продукции. Найти средние и предельные издержки производства, вычислить их значения при и объяснить экономический смысл полученного результата.

Решение. Найдём производную и её значение предельные издержки производства:

Средние издержки:

Это означает, что при данном уровне производства средние затраты на производство одной единицы продукции составляют 28 ден. ед., а увеличение объёма на одну единицу продукции обойдётся приблизительно в 11 ден. ед.

Задание 8. Даны функции спроса и предложения , где q и s – количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, p – цена единицы товара. Найти: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и предложения, вычислить их значения для равновесной цены и пояснить экономический смысл полученного результата; в) изменение дохода при увеличении цены на 10% от равновесной.

Решение.

а) Равновесная цена определяется из условия q = s, т.е. корни этого уравнения Отрицательный корень не имеет смысла, следовательно, равновесная цена равна 2 ден. ед.

б) Найдём эластичности по спросу и предложению по формуле (4). Для этого сначала найдём производные и :

Подставляя в формулу (4), получаем:

Для равновесной цены р =2 имеем:

Согласно экономическому смыслу эластичности это означает, что при изменении цены на 1% спрос уменьшится приблизительно на 0,1%, а предложение увеличится на 0,5%. Так как полученные значения эластичности по абсолютной величине меньше единицы, то спрос и предложение данного товара при равновесной цене неэластичны относительно цены, т.е., изменение цены не приведёт к резкому изменению спроса и предложения.

в) При увеличении цены з на 10%, спрос уменьшиться на , следовательно, доход pq возрастёт приблизительно на 10%.