График, отражающий увеличение производительности цеха «шасси» на 10 %, представлен на рисунке 3

Графический метод и двойственность

Методические указания

По выполнению индивидуальных домашних заданий по дисциплине

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Для студентов очной формы обучения всех специальностей

Составитель: ст. преподаватель Е.С. Федоткина

Новосибирск 2005

Методические указания рассмотрены и утверждены на заседании кафедры экономико-математических методов и прогнозирования от 6 июня 2005 г., протокол № 7.

Содержание

1. Задача 1. Задача о производстве автомобилей........................ 4

2. Задача 2. Задача об оптимальной оптовой закупке товаров............ 10

3. Задача 3. Задача о выборе оптимального плана производства продукции. 15

4. Литература..................................................... 23

Задача 1. Задача о производстве автомобилей

Фирма по производству автомобилей выпускает модели типа А и В. Годовые производственные мощности цехов приведены в следующей таблице:

№	Название цеха	Количество машин за год
типа А	типа В
	Кузовной
	Шасси
	Моторный
	Сборочный

Требуется:

1. Составить экономико-математическую модель расчёта оптимальной годовой

программы выпуска автомобилей с целью получения максимальной прибыли от их реализации.

2. Определить наиболее прибыльную для фирмы производственную программу,

если расчётная прибыль от одной машины типа А составляет 8712,1 рублей, а

прибыль от одной машины типа В составляет 19318,2 рублей.

3. Указать, насколько изменится максимум суммарной прибыли фирмы, если

предположить, что годовая производительность цеха «шасси» окажется:

а) сниженной на 20%,

б) увеличенной на 10%.

Решение:

1. Пусть х₁ – планируемое количество выпускаемых за год машин типа А,

х₂ – планируемое количество выпускаемых за год машин типа В.

На выпуск всех машин двух типов каждому цеху дается период времени 1 год, причем все цеха работают одновременно.

На примере кузовного цеха представим расчет затрат времени на изготовление одного автомобиля каждого типа.

В цехе за 1 год выпускается 660 автомашин типа А, тогда на производство одной машины потребуются затраты времени равные от годового объема времени.

В этом же цехе за 1 год также выпускается 440 машин типа В, значит на производство одной машины потребуются затраты времени равные от годового объема времени. Таким образом:

– норма расхода времени на производство одного автомобиля типа А в кузовном цехе (величина выражена в долях года);

– норма расхода времени на производство одного автомобиля типа B в кузовном цехе (в долях года).

Аналогично рассчитываются временные затраты на производство одного автомобиля каждого типа для других цехов.

Покажем формирование ограничений по ресурсу «время» на примере того же кузовного цеха.

Время работы цеха (в долях года) по изготовлению общего количества выпускаемых автомобилей типов А и В можно представить следующим образом:

х₁ + х_{2 .}

Так как временной ресурс фирмы на выпуск всех машин составляет 1 год, значит время работы цеха не должно превышать объема времени в 1 год. Отсюда получим ограничение:

х₁ + х₂ 1.

Рассуждая подобным образом, получим ограничения по ресурсу «время» для других цехов.

Ограничения, которым должны удовлетворять значения переменных х₁ и х₂, связаны с тем, что эти переменные обозначают количество выпускаемых машин. Поскольку количество машин не может быть величиной отрицательной, то значения х₁ и х₂ должны быть неотрицательны, т.е. х₁ 0, х₂ 0.

Обозначим прибыль, получаемую фирмой, через Z. Величину прибыли необходимо максимизировать. Учитывая расчетную прибыль от одной машины каждого типа, суммарная прибыль фирмы от продажи всех произведенных автомобилей примет вид:

Z = 8712,1х₁ + 19318,2х₂ max.

Экономико-математическая модель расчета оптимальной годовой программы выпуска автомобилей:

х₁ + х₂ 1,

х₁ + х₂ 1,

х₁ + х₂ 1,

х₁ + х₂ 1,

х₁ 0, х₂ 0,

Z = 8712,1х₁ + 19318,2х₂ max.

Для удобства расчетов приведем систему ограничений к следующему виду:

2х₁ + 3х₂ 1320,

х₁ + 3х₂ 1200,

х₁ + х₂ 560,

х₁ + 2х₂ 990,

х₁ 0, х₂ 0,

Z = 8712,1х₁ + 19318,2х₂ max.

2. Решим задачу графическим методом.

Напомним основные этапы графического способа решения ЗЛП.

1. Строят граничные прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств.

2. Находят полуплоскости, определяемые каждым из неравенств задачи.

3. Находят область допустимых решений (ОДР).

4. Строят вектор-градиент целевой функции = (с₁;с₂), компоненты которого равны коэффициентам при переменных целевой функции. Значения компонент можно пропорционально изменять.

5. Строят прямую с₁ х₁ + с₂ х₂ = h, которая называется линией уровня целевой функции. Здесь h может быть любым числом. Все линии уровня параллельны между собой и перпендикулярны вектору-градиенту.

6. Передвигают линию уровня по направлению, указанному вектором-градиентом. Последняя точка соприкосновения линии уровня и ОДР является точкой, в которой целевая функция принимает максимальное значение.

7. Определяют координаты точки максимума функции и рассчитывают значение целевой функции в этой точке.

Выпишем уравнения граничных прямых и по две точки на этих прямых для ограничений задачи.

2х₁ + 3х₂ = 1320 (1.1) х₁ + 3х₂ = 1200 (1.2)

х₁ 0 660 х₁ 0 1200

х₂ 440 0 х₂ 400 0

х₁ + х₂ = 560 (1.3) х₁ + 2х₂ = 990 (1.4)

х₁ 0 560 х₁ 0 990

х₂ 560 0 х₂ 495 0

х₂

560

495

440

400 А

х₁

Z = 0 560 660 990 1200

(1.4) (1.2)

(1.3) (1.1)

Рисунок 1. Графическое решение задачи о производстве автомобилей.

На рисунке 1 представлено решение задачи определения оптимальной годовой программы выпуска автомобилей.

Областью допустимых решений является пятиугольник, образованный осями координат и прямыми (1.2), (1.1), (1.3).

Вектор-градиент = (87; 193). Строим линию уровня вида: 8712,1х₁ + 19318,2х₂ = 0.

Точка максимума А находится на пересечении первой и второй прямых.

Найдем ее координаты, решив систему уравнений:

2х₁ + 3х₂ = 1320,

х₁ + 3х₂ = 1200.

Решением системы будет вектор X ^* = (120; 360).

Оптимальная программа выпуска автомобилей: 120 машин типа А и 360 машин
типа В за год.

Суммарная прибыль для этого выпуска автомобилей составит:

Z = 8712,1 120 + 19318,2 360 = 8000004 (руб.).

3. Исследуем изменения прибыли с изменением производительности цеха «шасси».

а) Если производительность цеха «шасси» снизится на 20%, т.е. станет составлять 80% от исходной производительности, то норма расхода времени по цеху «шасси» на производство автомобиля типа А будет равна 1200 0,8 = 960, а для автомобиля типа В – 400 0,8 = 320.

Второе ограничение примет следующий вид:

х₁ + х₂ 1,

или

х₁ + 3х₂ 960.

Вместо прямой (1.2) появится прямая (1.2`): х₁ + 3х₂ = 960.

Координаты точек для построения граничной прямой (1.2`):

х ₁ 0 960

х₂ 320 0

График, отражающий снижение производительности цеха «шасси» на 20% (остальные ограничения остаются без изменения), представлен на рисунке 2.

Относительно исходной прямой (1.2) прямая (1.2`) сместится ближе к началу координат.

ОДР на рисунке 2 теперь представляет четырехугольник, образованный осями координат и прямыми (1.2`) и (1.3).

Точкой максимума будет точка А` на пересечении прямых (1.2`) и (1.3):

х₁ + 3х₂ = 960,

х₁ + х₂ = 560.

Решением этой системы является вектор X ^* = (360; 200).

х₂

560

0

440

320

А`

а 560 660 960 990 х₁

Z = 0

(1.1) (1.4)

(1.3) (1.2`)

Рисунок 2. Графическое решение при снижении производительности цеха «шасси».

Вывод: при снижении производительности цеха «шасси» на 20 % оптимальный производственный план выпуска автомобилей составит 360 машин типа А и
200 машин типа В в год.

Суммарная прибыль при новом условии составит:

Z` = 8712,1 360 + 19318,2 200 = 6999996 (руб.).

Очевидно, исходная прибыль Z уменьшилась на величину:

∆Z = Z – Z` = 8000004 – 6999996 = 1000008 (руб.).

б) Если производительность цеха «шасси» увеличится на 10%, т.е. станет 110% от исходной производительности, то второе ограничение модели преобразуется следующим образом:

х₁ + х₂ 1,

или

х₁ + 3х₂ 1320.

Вместо прямой (1.2) появится прямая (1.2"): х₁ + 3х₂ = 1320.

Координаты точек для построения граничной прямой (1.2"):

х ₁ 0 1320

х₂ 440 0

График, отражающий увеличение производительности цеха «шасси» на 10 %, представлен на рисунке 3.

В данном случае ОДР представляет четырехугольник, образованный осями координат и прямыми (1.3) и (1.1).

Точкой максимума целевой функции будет точка А″, образованная пересечением прямых (1.1), (1.2`) с осью ординат OX₂. Ее координаты найдем, решив систему уравнений:

х₁ + 3х₂ = 1320,

х₁ = 0.

Решение системы: X ^* = (0; 440).

Вывод: при увеличении производительности цеха «шасси» на 10 % в оптимальный план выпуска автомобилей входит выпуск только машин типа В в количестве 440 штук.

Суммарная прибыль при этом будет равна Z" = 19318,2 440 = 8500008 (руб.).

х₂

495

А″

х₁

Z = 0 560 660 990 1320

(1.1) (1.4) (1.2″)

(1.3)

Рисунок 3. Графическое решение при увеличении производительности цеха «шасси».

Изменение прибыли составит величину:

∆ Z = Z″ – Z = 8500008 – 8000004 = 500004 руб., т.е. прибыль возрастет.