Некоторые определения игры

Методические указания

По выполнению контрольной работы

по дисциплине «Теория игр»

Для студентов заочного отделения

направления

Контрольная работа состоит из двух заданий. Решение задания № 2 проводится средствами MS Excel 2003, 2007, 2010. Оформление последовательности решения задания №1 и задания №2 – в среде MS Word 2003, 2007, 2010. Выбор варианта осуществляется по последней цифре зачетной книжки студента. При сдаче контрольной работы студент должен представить два файла – один файл с результатом решения задания № 2 формата .xls (MS Excel 2003) или .xlsx (MS Excel 2007, 2010) и один файл с описанием последовательности решения заданий №1 и №2 формата .doc (MS Word 2003) или .docx (MS Word 2007, 2010). Варианты заданий приведены на стр.9-10.

Краткие теоретические сведения.

Если имеется несколько конфликтующих сторон (лиц), каждая из которых принимает некоторое решение, определяемое заданным набором правил, и каждому из лиц известно конечное состояние конфликтной ситуации с заранее определенными для каждой из сторон платежами, то говорят, что имеет место игра.

Задача теории игр состоит в выборе такой линии поведения данного игрока, отклонение от которой может лишь уменьшить его выигрыш.

Некоторые определения игры

Количественная оценка результатов игры называется платежом.

Парная игра (два лица) называется игрой с нулевой суммой, если сумма платежей равна нулю, т.е. если проигрыш одного игрока равен выигрышу другого.

Однозначное описание выбора игрока в каждой из возможной ситуаций, при которой он должен сделать личный ход, называется стратегией игрока.

Стратегия игрока называется оптимальной, если при многократном повторении игры она обеспечивает игроку максимально возможный средний выигрыш (или, что - то же самое, минимально возможный средний выигрыш).

Игра, определяемая матрицей А, имеющей m строк и n столбцов, называется конечной парной игрой размерности m*n;

(1.1)

где i = - стратегия первого игрока, имеющего m стратегий; j = - стратегия второго игрока, имеющего n стратегий; _ij – выигрыш первого игрока по i -й стратегии при использовании вторым j -й стратегии (или, что то же самое, проигрыш второго по своей j -й стратегии, при использовании первым i -й);

А = || a _ij || – платежная матрица игры.

Игра с чистыми стратегиями

Нижняя цена игры (для игрока первого)

a = max (min a _ij). (1.2)

i j

Верхняя цена игры (для второго игрока):

= min (maxa_ij). (1.3)

J i

Если a = b, игра называется с седловой точкой (1.4), или игра с чистыми стратегиями. При этом V = a = b называют ценной игры (V - цена игры).

Пример. Дана платежная матрица игры 2 лиц А. Определить оптимальные стратегии для каждого из игроков и цену игры:

min max

j i

(1.4)

max 10 9 12 6

i

min 6

j

- стратегия первого игрока (строки).

- стратегия второго игрока (столбцы).

- цена игры.

Таким образом, игра имеет седловую точку. Стратегия j = 4 – оптимальная для второго игрока, стратегия i =2 - для первого. Имеем игру с чистыми стратегиями.