Степенные средние

Выбор вида средней определяется экономическим содержанием определенного показателя и исходных данных. В каждом конкретном случае применяется одна из средних величин: арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая и т.д.

Перечисленные средние относятся к классу степенных средних и объединяются общей формулой (при различных значениях m):

(5.1)

где - среднее значение исследуемого явления;

m - показатель степени средней;

х - текущее значение (вариант) осредняемого признака;

n - число признаков.

В зависимости от значения показателя степени т различают следующие виды степенных средних:

при m = -1 — средняя гармоническая ;

при m = 0 — средняя геометрическая ;

при m = 1 — средняя арифметическая ;

при m = 2 — средняя квадратическая ;

при m = 3 — средняя кубическая .

При использовании одних и тех же исходных данных, чем больше т в формуле (5.1), тем больше значение средней величины:

(5.2)

Это свойство степенных средних возрастать с повышением показателя степени определяющей функции называется в статистике правилом мажорантности средних.

Характер имеющихся данных определяет существование только одного истинного среднего значения показателя. Вид средней выбирается в каждом отдельном случае путем конкретного анализа изучаемой совокупности, он определяется материальным содержанием изучаемого явления, а также принципами суммирования и взвешивания.

Помимо степенных средних в статистической практике используются средние структурные, в качестве которых рассматриваются мода и медиана.

Остановимся подробнее на степенных средних.

Средняя арифметическая является наиболее распространенным видом средних. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Для общественных явлений характерна аддитивность (суммарность) объемов варьирующего признака, этим определяется область применения средней арифметической и объясняется ее распространенность как обобщающего показателя. Так, например, общий фонд заработной платы — это сумма заработных плат всех работников, валовой сбор урожая — сумма произведенной продукции со всей посевной площади.

Чтобы исчислить среднюю арифметическую, нужно сумму всех значений признаков разделить на их число.

Средняя арифметическая применяется в форме простой средней и взвешенной средней. Исходной, определяющей формой, служит простая средняя.

Средняя арифметическая простая равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений (она применяется в тех случаях, когда имеются не сгруппированные индивидуальные значения признака):

(5.3)

где х₁,х₂,..., х_п — индивидуальные значения варьирующего признака (варианты);

п — число единиц совокупности.

Например, требуется найти среднюю выработку одного рабочего (слесаря), если известно, сколько деталей изготовил каждый из 15 рабочих, т.е. дан ряд индивидуальных значений признака, шт.:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле (5.3), шт.:

Средняя из вариантов, которые повторяются различное число раз, или, как говорят, имеют различный вес, называется взвешенной. В качестве весов выступают численности единиц в разных группах совокупности (в группу объединяют одинаковые варианты).

Средняя арифметическая взвешенная – средняя сгруппированных величин x₁, x₂,... x_n, – вычисляется по формуле:

(5.4)

где f₁,f₂,...,f_n — веса (частоты повторения одинаковых признаков);

– сумма произведений величины признаков на их
частоты;

– общая численность единиц совокупности.

Технику вычисления средней арифметической взвешенной проиллюстрируем на рассмотренном выше примере. Для этого сгруппируем исходные данные и поместим их в таблице. 5.1.

По формуле (5.4) средняя арифметическая взвешенная, шт.:

Таблица 5.1 – Распределение рабочих по выработке деталей

Выработка деталей за смену одним рабочим, шт.,(х)	Число рабочих (веса) (f)
Итого

В отдельных случаях веса могут быть представлены не абсо­лютными величинами, а относительными (в процентах или долях единицы). Тогда формула средней арифметической взвешенной будет иметь вид:

(5.5)

где – частость, т.е. доля каждой частоты в общей сумме всех частот.

Если частоты подсчитывают в долях (коэффициентах), то и формула средней арифметической взвешенной имеет вид:

. (5.6)

Часто приходится исчислять среднюю по групповым сред­ним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним), т.е. среднюю из средних. Так, например, средняя про­должительность жизни граждан страны представляет собой среднее из средних продолжительностей жизни по отдельным регионам данной страны.

Средние из средних рассчитываются так же, как и средние из первоначальных значений признака. При этом средние, ко­торые служат для исчисления на их основе общей средней, при­нимаются в качестве вариантов.

Вычисление средней арифметической взвешенной из групповых средних осуществляется по формуле:

, (5.7)

где f – число единиц в каждой группе.

Результаты вычисления средней арифметической из групповых средних представлены в табл. 5.2.

Таблица 5.2 – Распределение рабочих по среднему стажу работы

Номер цеха	Средний стаж работы, лет	Число рабочих, чел. f
1-й 2-й 3-й
Итого	—

В этом примере вариантами являются не индивидуальные данные о стаже работы отдельных рабочих, а средние по каждому цеху . Весами f являются численности рабочих в цехах.

Отсюда средний стаж работы рабочих по всему предприятию составит, лет:

Если значения осредняемого признака заданы в виде интервалов («от — до»), т.е. интервальных рядов распределения, то при расчете средней арифметической величины в качестве значений признаков в группах принимают середины этих интервалов, в результате чего образуется дискретный ряд.

Рассмотрим следующий пример (таблица 5.3).

Таблица 5.3 – Распределение рабочих АО по уровню оплаты труда

Исходные данные	Расчетные значения
Группы рабочих по оплате труда, руб.	Число рабочих, чел., f	Середина интервала, руб. x
До 1000			4 500
1000-1200
1200-1400
1400-1600
1600-1800
1800 и более
Итого		—

От интервального ряда перейдем к дискретному путем замены интервальных значений их средними значениями (простая средняя между верхней и нижней границами каждого интервала). При этом величины открытых интервалов (первый и последний) условно приравниваются к интервалам, примыкающим к ним (второй и предпоследний).

При таком исчислении средней допускается некоторая неточность, поскольку делается предположение о равномерности распределения единиц признака внутри группы. Однако ошибка будет тем меньше, чем уже интервал и чем больше единиц в интервале.

После того как найдены середины интервалов, вычисления делают так же, как и в дискретном ряду, — варианты умножают на частоты (веса) и сумму произведений делят на сумму частот (весов), руб.:

Итак, средний уровень оплаты труда рабочих АО составляет 1458 руб. в месяц.

Вычисление средней арифметической часто сопряжено с большими затратами времени и труда. Однако в ряде случаев процедуру расчета средней можно упростить и облегчить, если воспользоваться ее свойствами. Приведем (без доказательства) некоторые основные свойства средней арифметической.

Свойство 1. Если все индивидуальные значения признака (т.е. все варианты) уменьшить или увеличить в i раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится в i раз.

Свойство 2. Если все варианты осредняемого признака уменьшить или уве­личить на число А, то средняя арифметическая соответст­венно уменьшится или увеличится на это же число А.

Свойство 3. Если веса всех осредняемых вариантов уменьшить или увеличить в k раз, то средняя арифметическая не изменится.

В качестве весов средней вместо абсолютных показателей можно использовать удельные веса в общем итоге (доли или проценты). Тем самым достигается упрощение расчетов средней. Для упрощения расчетов средней идут по пути уменьшения значений вариантов и частот. Наибольшее упрощение достигается, когда в качестве А выбирается значение одного из центральных вариантов, обладающего наибольшей частотой, в качестве i - величина интервала (для рядов с одинаковыми интервалами). Величина А называется началом отсчета, поэтому такой метод вычисления средней называется «способом отсчета от условного нуля» или «способом моментов». Допустим, что все варианты х сначала уменьшены на одно и то же число А, а затем уменьшены в i раз. Получим новый вариационный ряд распределения новых вариантов (х₁).

Тогда новые варианты будут выражаться: , а их новая средняя арифметическая т₁ — момент первого порядка — формулой и будет равна средней из первоначальных вариантов, уменьшенной сначала на А, а затем в i раз, т.е. .

Для получения действительной средней надо момент первого порядка m₁ умножить на i и прибавить А:

. (5.8)

Данный способ вычисления средней арифметической из вариационного ряда называют «способом моментов». Применяется этот способ в рядах с равными интервалами. Расчет средней арифметической по способу моментов иллюстрируется данными таблице 5.4

Таблица 5.4 – Распределение предприятий региона по стоимости основных производственных фондов (ОПФ)

Группы предприятий по стоимости ОПФ, млн руб.	Число предприятий f	Середины интервалов x
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24			-2 - 1	-4 -6
Итого		-	-

Находим момент первого порядка . Затем, принимая А=19 и зная, что i = 2, вычисляем , млн руб.:

Итак, средняя стоимость основных производственных фондов предприятий региона составляет 19 млн руб.

Применение способа моментов настолько облегчает расчеты, что позволяет их выполнять без использования вычислительной техники даже при больших и многозначных числах, характеризующих индивидуальные значения осредняемых показателей.

Средняя арифметическая, как было показано выше, применяется в тех случаях, когда известны варианты варьирующего признака х и их частоты f.

Когда статистическая информация не содержит частот f по отдельным вариантам х совокупности, а представлена как их произведение х · f, применяется формула средней гармонической взвешенной. Чтобы исчислить среднюю, обозначим x · f = w, откуда f = w / x. Теперь преобразуем формулу средней арифметической таким образом, чтобы по имеющимся данным х и w можно было исчислить среднюю. В формулу средней арифметической взвешенной (5.4) вместо xf подставим w, вместо f - отношение w/x и получим формулу средней гармонической взвешенной:

., (5.9)

Из формулы (5.9) видно, что средняя гармоническая - средняя взвешенная из варьирующих обратных значений признака. Она является преобразованной формой арифметической средней и тождественна ей. Вместо гармонической всегда можно рассчитать среднюю арифметическую, но для этого сначала нужно определить веса отдельных значений признака, скрытые в весах средней гармонической.

Таким образом, средняя гармоническая применяется тогда, когда неизвестны действительные веса f, а известно w = x · f, т.е. в тех случаях, когда средняя предназначается для расчета сумм слагаемых, обратно пропорциональных величине данного признака, когда суммированию подлежат не сами варианты, а обратные им величины.

Например, по данным (таблицы 5.5) требуется определить среднюю цену 1 кг яблок в апреле.

Расчет средней цены выражается соотношением:

Средняя цена, руб. = .

Таблица 5.5 - Цена и выручка от реализации по трем коммерческим магазинам

Номер магазина	Исходные данные	Расчетные значения
Цена яблок, руб/кг, x	Выручка от реализации, руб., w	Частота (количество реализованных единиц), кг, f=w/x
1-й 2-й 3-й			3070: 17 = 180 2800: 20 = 140 1920: 24 = 80
Итого	—

Определяющим показателем здесь является числитель этой логической формулы. Выручка от реализации w известна (числитель), а количество реализованных единиц — неизвестно, но может быть найдено как частное от деления одного показателя на другой, для чего нужно отдельно по каждому магазину разде­лить выручку на цену.

Тогда средняя цена 1 кг яблок, руб., по трем коммерческим магазинам может быть исчислена по формуле (5.9) средней гар­монической взвешенной:

.

Этот же результат получится и по средней арифметической взвешенной, если в качестве весов принять количество проданных единиц (которые необходимо предварительно рассчитать), руб.:

.

Полученная средняя цена 1 кг яблок является реальной ве­личиной, ее произведение на все количество проданных яблок дает общий объем реализации, выступающий в качестве опреде­ляющего показателя (7780 руб).

Исчисление средней гармонической взвешенной по формуле (5.9) освобождает от необходимости предварительного расчета ве­сов, поскольку эта операция заложена в саму формулу.

В тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице (индивидуальные значения обратного признака встречаются по одному разу), применяется средняя гармоническая простая, исчисляемая по формуле:

, (5.10)

где - отдельные варианты обратного признака, встречающиеся

по одному разу; п — число вариантов.

Пример. У предпринимателя имеются два автомобиля различных моделей, работающих на бензине одинаковой марки. Расход бензина у первого автомобиля равен 0,05 л/км, у второго — 0,08 л/км. Каков средний расход бензина на 100 км (или 1 км) пройденного пути?

Правильное решение этой задачи должно в своей основе содержать исходное (логическое) соотношение средней. Для того чтобы определить средний расход бензина на 1км пройденного пути (, л/км), необходимо общий расход бензина поделить на суммарный пробег обоих автомобилей:

,

или 6,15 л на 100 км.

Как видим, расчет сведен к исчислению средней гармонической простой (при этом конкретное количество израсходованного бензина роли в расчете не играет, главное, чтобы оно было одинаковым).

При замене индивидуальных значений признака их средней () общий пробег не изменится:

Если по двум частям совокупности (численности n₁ и n₂) даны средние гармонические, то общую среднюю гармоническую по всей совокупности можно представить как взвешен­ную гармоническую среднюю из групповых средних:

(5.11)

Для закрепления знаний по теме рассмотрим задачу на применение в расчетах средней арифметической и средней гармонической.

Пусть требуется определить средний размер двух видов вклада в банке в октябре и ноябре по данным табл. 5.6.

Таблица 5.6 – Информация о вкладах в банке для расчета средних значений

Вид вклада	Октябрь	Ноябрь
Число вкладов, тыс., f	Средний размер вклада, руб., x	Сумма вкладов, млн руб., w	Средний размер вклада, руб., x
До востребования Срочный			4,07 3,87

В октябре известен средний размер вкладов каждого вида х и количество вкладов f. Следовательно, для расчета среднего размера вклада по двум видам применяем формулу средней арифметической взвешенной, руб.:

В ноябре известен средний размер вкладов каждого вида, а количество вкладов — не известно, но зато имеются данные об общих суммах этих вкладов.

Путем деления сумм вкладов w каждого вида на их средний размер вклада х можно определить веса — число вкладов f по их видам, а затем определить средний размер вклада по двум видам по формуле средней арифметической взвешенной. Однако, если в расчете использовать среднюю гармоническую взвешенную, то отпадает необходимость предварительных расчетов весов — размеров вкладов по каждому виду, поскольку эта операция заложена в саму формулу.

Итак, средний размер вклада в ноябре по двум их видам находим по формуле средней гармонической взвешенной, руб.:

.

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.

Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени n из произведений отдельных значений — вариантов признака x.

, (5.11, а)

где n — число вариантов; П — знак произведения.

Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.

В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны n квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны n кубов).

Формулы для расчета средней квадратической:

- средняя квадратическая простая является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:

; (5.12)

- средняя квадратическая взвешенная:

, (5.13)

где f — веса.

Формулы для расчета средней кубической аналогичны:

- средняя кубическая простая:

; (5.14)

- средняя кубическая взвешенная:

(5.15)

Средние квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих вариантов х, и из их отклонений от средней () при расчете показателей вариации.

Средняя может быть вычислена не для всех, а для какой-либо части единиц совокупности. Примером такой средней может быть средняя прогрессивная как одна из частных средних, вычисляемая не для всех, а только для «лучших» (например, для показателей выше или ниже средних индивидуальных).