Введение. В условиях рыночной экономики основная роль системы градорегулирования сводится к тому, чтобы сохранить устойчивый и приемлемый баланс между частными

В условиях рыночной экономики основная роль системы градорегулирования сводится к тому, чтобы сохранить устойчивый и приемлемый баланс между частными интересами отдельных субъектов (землепользователей, застройщиков, инвесторов и т.п.) и интересами местного (или регионального) сообщества.

Планирование территориального развития города, создание градостроительных регламентов использования земель должно опираться на тщательное изучение рынка недвижимости города, тех закономерностей, которые обеспечивают экономическую выгодность использования территорий для различных категорий землепользователей.

Одним из средств формирования рациональной структуры городского землепользования является использование при разработке стратегии развития города и планов функционального зонирования территории расчетных моделей, учитывающих не только основные свойства различных ее участков, но и основные закономерности развития видов городского землепользования, их отношение к свойствам территории. Интерес к использованию математического моделирования в сфере градостроительства связан в значительной степени с тем, что крупные градостроительные мероприятия, как правило, являются уникальными и имеют зачастую практически необратимые последствия. Невозможность осуществления предварительных натурных экспериментов требует проведения на подготовительных этапах проектирования таких мероприятий максимально глубокой и всеобъемлющей проработки, затрагивающей не только технические, но также экономические, экологические, социальные и прочие аспекты.

Основная цель этих разработок - создание расчетных моделей, используемых при проведении сравнительного анализа вариантов крупных градостроительных проектов, создании методик массовой оценки элементов городской среды, решении задач рационального размещения на территории города объектов различного функционального назначения, вычислении характеристик функционирования различных городских систем и формировании стратегических направлений их развития.

Экономико - математические методы и модели являются функциональной экономической дисциплиной и имеют целью подготовку специалистов в области новейших достижений теории, методологии и практики моделирования производственных систем и социально - экономических процессов.

Экономико - математические методы - это совокупность методологических принципов и методических приемов постановки экономических задач, способов их формализации в виде математических или компьютерных моделей, а также проведения модельных экспериментов и качественного анализа полученных решений.

Объектом экономико - математического моделирования являются не только производственная и организационная структура городских предприятий и его подразделений, но и экономические интересы субъектов городского хозяйства.

Экономико - математические модели и методы развиваются в таких важнейших теоретических и научных дисциплинах, как эконометрия, математическая экономика, экономическая кибернетика, теория запасов, социальная и экономическая статистика, а также во многих прикладных дисциплинах математики.

Инструментальной основой дисциплины “ Экономико - математические методы и модели в землеустройстве “ является курс высшей математики, математическое программирование, теория вероятностей и математическая статистика, информатика, программирование и ЭВМ. Предметную основу курса составляют специальные дисциплины (математика, экономика, градостроительство, а также ряд других).

1. Моделирование как инструмент специалиста городского кадастра

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования XX в. Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Рассмотрим только такие "модели", которые являются инструментами получения знаний.

Модель — это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Под моделирование понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.

Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.

Моделирование — циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания о исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом заложены большие возможности саморазвития.

Многие стандарты, обязательные для современного процесса планирования, предусматривают так называемую разработку плана или формулирование плана. Для планировщика это критическая точка, когда все технические средства использованы до конца, и он принимает команду на себя и должен проявить свои способности, как он делал до того, как компьютерное моделирование стало составной частью процесса планирования. Это весьма важно, так как в процессе есть хотя бы одна точка а, по всей вероятности, более чем одна, в которой планировщик использует свою способность синтезировать, зачастую несопоставимые элементы в единый план. Использование при этом компьютера ускоряет процесс, позволяет во много раз быстрее разрабатывать и сравнивать альтернативные планы. Способность к проектированию — это способность использовать не только технические, но и свои возможности критически и творчески.

Поэтому фактически процесс планирования начинается, как только планировщик приступает к созданию своих моделей. Главные вопросы, определяющие содержание плана разработки модели,— какие элементы городской системы должны быть представлены в модели и насколько подробно. В сущности, модель — это проект, и альтернативные допущения, встроенные в модель, создают дополнительные проектные возможности. Естественно, слово «проект» используется здесь не в обычном его смысле. В большинстве случаев городской и региональный планировщик не прекращает свою работу, выпустив чертежи физической структуры. Он должен точно определить то будущее состояние или состояния городской и региональной системы, которые, как следует из рабо­чей модели, внутренне связаны, работоспособны и осуществимы и наилучшим образом соответствуют поставленным задачам. Со­держание проекта и соответственно его модели будет зависеть от целей, которые преследует планировщик, и от того, на чем он фокусирует свое внимание. Так, если его план связан с развитием транспортной системы, то он состоит в основном из проекта транспортных потоков. Если же его план связан с социальными вопросами, в него входит размещение учреждений социального профиля в соответствии с потребностями различных слоев населения. В соответствии с современным пониманием планирования как процесса проект не будет своего рода одноразовым планом, рассчитанным на какую-либо определенную дату в будущем, и соот­ветственно модель, или модели, которые представляют этот проект, будут представлять непрерывную траекторию из настоящего в пред­сказуемое будущее.

Поэтому проект состоит, в основном, из двух элементов. Пер­вый — это выбор системных моделей для представления основных элементов, которые должны войти в проект, и использование затем этих моделей для получения ряда единых и реалистичных картин будущего состояния системы. Второй элемент — процесс оценки альтернатив для принятия предпочтительного или оптимального решения. На стадии оценки задачи и цели, разработанные планировщиком, используются непосредственно для альтернатив­ных имитаций будущей системы.

Определив объекты и придав им более точную форму в виде целей, специалист переходит к описанию и анализу той городской и региональной системы, которую он хочет контролировать. На этом этапе он должен представить себе поведение системы как в недавнем прошлом, так и в будущем, для того чтобы понять последствия каждого из альтернативных действий, имеющихся в его распоряжении. С этой целью он создает модель системы (или, что более предпочтительно, несколько взаимосвязанных моделей с тем, чтобы описать поведение подсистем).

Модель — это простое схематическое, но точное описание системы, в котором содержится ее существующее состояние и которое должно быть использовано для предсказания будущего. Модель может быть весьма простой: утверждение о том, что население увеличивается на 2 % в год,— это уже первичная (примитивная) модель роста населения. Но, что очень важно, это утверждение должно быть подкреплено конкретным прогнозным анализом.

Существуют два аспекта, которые в первую очередь необходимо определить специалисту, в связи с моделированием: какие аспекты городской системы он хочет смоделировать и какие модели уже имеются и выбрать тип(принцип) моделирования. Ответ на первый вопрос зависит от его непосредственного интереса. Проектировщик должен определить, на какие вопросы должна ответить модель. Обычно специалист по городскому и региональному планированию связан с пространственным поведением экономики или общества. Ему особенно интересны взаимоотношения между социальной и экономической деятельностью, такими как работа, покупки, отдых, и пространством (или структурой), в которых они осуще­ствляются. Ему необходимо знать размер и местоположение обоих видов деятельности, а также взаимосвязь между теми видами деятельности (транспорт и связь), которые используют специаль­ные пространства, называемые «канальными пространствами» (ав­то или железные дороги, телефонные линии). Вместе эти ас­пекты (элементы) городской системы образуют системы активно­сти. Среди них особенную важность для проектировщика представ­ляет взаимоотношение между местом приложения труда, жильем, культурно-бытовыми объектами и, связывающей их транспортной системой

Ответ на второй вопрос — выбор типа модели — опять же зави­сит от объекта планирования. Модели, независимо от того, простые они или сложные, могут быть классифицированы различными способами. Они могут быть детерминистическими по характеру или вероятностными (т. е. включать элемент выбора). Они могут быть статичными или динамичными. Большинство из наиболее известных моделей городского развития — статичны, т, е- они сориентированы только на одну временную точку в будущем, по достижении которой система рассматривается как достигшая равновесия. Это, конечно, абсолютно нереалистичное предположение, которое не подтверждается практическим знанием о действительном поведении модели, и одной из самых трудных задач является создание пригодной для использования динамической модели. Другой, отдельный, но связанный с предыдущими рассуждениями вопрос — является ли избранная модель просто описанием данной ситуации (или недавнего прошлого) или прогнозом будущего, или предписанием в том смысле, что она содержит встроенный в нее элемент оценки. Самооценивающиеся модели еще не стали привычными для городского и регионального планирования, хотя они и существуют: наиболее известным примером является линейная программирующая модель, которая автоматически максимизирует до определенных пределов достижения некоего перемен­ного субъекта. Эта модель использовалась для решения планировочных проблем в США и Израиле. Но наиболее распространена модель, которая просто прогнозирует будущее: она может исполь­зоваться многократно с различными допущениями, но в конце концов выбор делается с помощью отдельного оценивающего процесса.

Другим вопросом является выбор между пространственно соединенной и пространственно разобщенной моделями. Модель, которая представляет некую подсистему для города или региона как целое, называется пространственно соединенной; модель, которая экзаменует внутреннее состояние системы зона за зоной — пространственно разобщенной. Городским и региональным плани­ровщикам необходимы и та, и другая модель, и результаты, полученные ими на пространственно разобщенных моделях, должны совпадать с контрольными итогами, данными пространственно соединенными моделями. Хорошо известные модели населения, та­кие как модель воспроизводства (которая оперирует показателя­ми выживания по возрастным группам населения через каждые пять лет), являются пространственно соединенными, такими же — общие экономические модели (типа "затраты — выпуск"). Модели, которые прогнозируют будущее распределение населения и предприятий обслуживания в урбанизированных районах, такие как известная модель Гарина —Лаури, используемая во многих планировочных исследованиях, относятся к пространственно разобщенным.

Некоторые модели объединяют в себе соединенные и разобщенные элементы, к таким относится модель Гарина — Лаури. Эта модель начинается с принятыми объемом и размещением основной промышленности, т. е. промышленности, продукция которой транспортируется из города или региона и которая образует экономическую базу существования жителей этого региона. Модель затем рассчитывает одновременно как объединенный объем, так и пространственное распределение населения и занятости в местной сфере обслуживания, которая зависит от населения. Совокупные итоги получены с использованием двух простых соотношений: «основная занятость — население» и «население—занятость в сфере, обслуживания». Распределения получены с использованием так называемой модели пространственного взаимодействия, которая выведена, как и многие модели этого типа, из хорошо известной гравитационной теории. Основная идея заключается в том, что взаимодействие между двумя любыми районами, которые формируют более обширные территории, прямо пропорционально их размерам (которые определяются, например, в терминах концентрации занятости или населения) и обратно пропорционально расстоянию между ними. Такая модель содержит целый ряд параметров и констант, которые представляют собой величины, способные изменяться, так что модель более всего при­годна для анализа фактов прошлого и настоящего. Этот про­цесс пригонки (подгонки) называется калибровкой модели.

Модель Гарина —Лаури начинается с простого распределения базовой промышленности и заканчивается представлением урбани­зированного района в определенный будущий момент времени, демонстрируя модели проживающего населения, обеспеченности обслуживанием, поездок на работу и на предприятия сферы об­служивания. Модель может быть использована с различными пред­положениями, например, предположением о распределении базовой промышленности или видах транспорта, которые обеспечивают дос­тупность одной системы к другой. Все это плюс относительная простота и экономия сделали модель одной из наиболее распространенных в планировочной практике Британии и Северной Америки. Ее основное достоинство — простота, требующая постоянного повторения для того, чтобы сделать ее подходящей для динамического планирования — в ближайшие несколько лет будет превзойдено созданием динамического варианта.

Модельное проектирование — одна из наиболее сложных и интригующих ступеней современного процесса планирования. Проектирование модели или моделей для решения определенной проблемы требует логического анализа целого ряда взаимосвязан­ных вопросов. Прежде всего определяется, на какие вопросы должна ответить модель. Следующая проблема — составление списка концепций, которые должны быть представлены и измерены. Необходимо также исследовать, какие величины могут быть контро­лируемы проектировщиком хотя бы частично: если ни одна из частей предположения не контролируется, модель является чисто прогнозирующей, но если хотя бы несколько факторов находятся под контролем планировщика, модель — планировочная. Планиров­щик должен также рассмотреть, какие теории поведения должны быть включены в его модель. Он должен рассмотреть технические вопросы: как должны быть категоризированы или подразделены переменные (например, население может быть категоризировано по возрасту, полу, занятию и т. п.), как использовать точное время и как должна быть калибрована и испытана модель.

2. Общие сведения о ЭММ

1. Понятие моделирования и экономико-математических моделей.

2. Виды и классы экономико-математических моделей.

3. Методы решения экономико-математических задач.

4. Стадии ЭММ.

1. Понятие моделирования и экономико-математических моделей.

В основе применения математических методов в землеустройстве лежит моделирование - процесс построения модели изучаемого объекта или явлений.

Модель - это упрощенное подобие изучаемого объекта или явления, которое сохраняет наиболее существенные их свойства и соотношения.

Модели подразделяются на:

1) Вещественные (материальные)

2) Абстрактные (знаковые)

Вещественные модели являются физически действующими устройствами. Они или точно копируют объект или заметно отличаются от него, сохраняя общность в принципах строения или функционирования.

Абстрактные модели - конструкции из наглядных представлений логических описаний и знаковых систем.

Математическая модель - это записанная в математической форме реальное явление или объект, который характеризует взаимосвязь параметров этого явлениями объекта.

Экономико-математическая модель - это запись математических символов экономических явлений или процессов.

2. Виды и классы экономико-математических моделей.

В зависимости от степени сложности моделей и вида решаемых задач подразделяют следующие классы моделей:

I Межотраслевых моделей (модели по организации рационального использования земли, применяются в генсхемах использования земельных ресурсов страны, республики, а также в схемах землеустройства области и района);

II Межхозяйственного землеустройства (применяются при составлении и обосновании проектов МХЗ:

- устранении недостатков землепользований,

- формирование землепользований оптимальных размеров,

- приведение в соответствие размеров производства и территории);

III Внутрихозяйственного землеустройства (модели по составным частям и элементам проекта ВХЗ);

IV Рабочего проектирования (модели по проектированию противоэрозионных мероприятий на конкретных массивах, устройство территорий орошаемых культурных пастбищ, улучшение угодий и др.).

Виды моделей применяемых в землеустройстве

Математические модели в землеустройстве

Экономико-математические Экономико-статистические Аналитические

детерминистические корреляционные функциональные

балансовые оптимизационные

стохастические

Аналитические модели позволяют производить расчеты, характеризующие проектные решения.

Пример: вычислить средний условный  рабочего гона агрегата

P



В шир

В=c+d+3H / 5

Корреляционные модели учитывают зависимость результатов производства от факторов производства (производственные функции иначе называют корреляционные модели).

Пример:

у = f (x₁, x₂,...,x_n)

где у - результата производства (производительность труда);

x₁, x₂,...,x_n - факторы производства (обеспеченность трудовыми и материальными ресурсами, техникой и т. п.).

Функциональные модели представляют собой разновидность корреляционных моделей, при которых коэффициент корреляции равен 1.

Детерминистические модели - применяются в случае, если исходная информация выражается точными числами.

Стохастические модели - применяются в случае, если исходная информация выражается приближенными числами.

Информация стохастических моделей носит вероятностный характер.

Балансовые модели представляют собой баланс между возможностями и потребностями производства (балансы земель, труда, денежно-материальных средств и др.).

Оптимизационные модели - это в которых необходимо добиться наибольшего экономического эффекта (max продукции, min затрат).

3. Методы решения экономико-математических задач.

1. Методы математического программирования

а) линейное программирование: симплекс - метод, распределительный метод. В задачах линейного программирования переменные выражены в I степени.

б) нелинейное программирование (переменные выражены в любой степени)

в) динамическое программирование

Методы математического программирования применяются в случаях:

- если необходимо найти экстремум функции (max, min);

- если имеется множество альтернативных решений различных вариантов;

- если переменные выражаются количественно.

4. Стадии ЭММ:

1 стадия. Постановка экономико-математической задачи (выбор цели задачи и словесная формулировка задачи).

2 стадия. Составление экономико-математической модели задачи.

3 стадия. Сбор необходимой информации для решения задач.

4 стадия. Решение экономико-математической задачи.

5 стадия. Проверка полученного решения на оптимальность.

6 стадия. Учёт дополнительных условий.

7 стадия. Анализ полученных результатов (поиск альтернативных оптимальных решений и в случае необходимости корректировка результатов решения).

ПОДГОТОВКА ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ

ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

1. Понятие информация. Единица количества информации.

2. Требования, предъявляемые к информации.

3. Виды и источники землеустроительной информации.

4.Понятие и содержание основной матрицы экономико-математической модели задачи.

1. Понятие информации. Единица количества информации.

Информация - это сведения, являющиеся объектом передачи, преобразования и хранения.

Единица количества информации является один бит.

Один бит - это единица количества информации, которая содержится в сообщении от источника, имеющего два вероятных исхода.

10²⁵ объем памяти 1 бит.

В случае если для решения задачи имеется вся необходимая информация, то задача информационно обеспечена.

ЭТАПЫ информационного обеспечения задач

1. Получение исходной информации (осуществляется на основании детального изучения объекта проектирования).

2. Обработка информации, ее анализ и оценка (корректировка планово-картографического материала). В процессе второго этапа информация приводиться к виду, пригодному для дальнейшего использования.

3. Подготовка информации для ввода в ЭВМ (заключается в разработке основной матрицы экономико-математической задачи).

4. Реализация информации на ЭВМ.

Графически процесс информационного обеспечения выглядит так:

2. Требования, предъявляемые к информации:

1. Информация должна быть полной, отражать все стороны изучаемого объекта.

2. Информация должна быть достоверной и существенной.

3. Информация должна быть своевременной.

4. Информация должна быть представлена в виде, пригодном для дальнейшего использования.

3. Виды и источники землеустроительной информации.

Виды:

2. Отчетная информация

2. Плановая

3. Проектировочная

4. Нормативная

5. Корректирующая

6. Научная

Отчетной информацией называют сведения, характеризующие результаты деятельности региона, города, предприятия, а также их обеспеченность земельными, трудовыми, денежно-материальными и др. ресурсами.

К отчетной информации относятся данные, характеризующие количество и половозрастной состав населения, количество трудоспособных, площади городских и т.п. земель, обеспеченность основными и оборотными фондами, наличие техники, развитость инфраструктуры, себестоимость продукции.

Источники отчетной информации:

- годовые отчеты;

- земельно-учетные данные, содержащиеся в регистрационных книгах государственных землепользований;

- материалы оперативного и бухгалтерского учета предприятий;

- данные статистических и ряда других органов.

Плановой информацией называются перспективные данные, носящие директивный характер.

К ним относятся:

- производственные направления на перспективу, связи с другими регионами, городами и т.п.;

- сочетание отраслей;

- планируемая рождаемость и смертность;

- городская структура.

Источники плановой информации:

1. Планы социального и экономического развития района, города и т.п.;

2. Утвержденные планы строительства, перспективного развития, распределения капитальных вложений и др.;

3. Задание на проектирование.

Проектировочной информацией называют сведения, полученные при составлении схем землеустройства районов, схем районных планировок, проектов МХЗ, ТЭО отдельных мероприятий, рабочие проекты на улучшение земель и т.д.

Источники: вышеназванные схемы.

Нормативная информация - это сведения используемые для построения основной матрицы экономико-математической задачи.

Источниками являются технологические карты, а также нормативные первоисточники.

Корректирующая информация представляет собой новые сведения, полученные при реализации экономико-математической модели, корректировке результатов ее решения, а также в ходе осуществления проектов и авторского надзора.

Научная информация полученная в результате изучение научных и исследовательских трудов должна служить базой для проектирования.

4. Понятие и содержание основной матрицы экономико-математической модели задачи.

Матрицей экономико-математической задачи называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке и несущих всю информацию о решаемой задаче.

Схема матрицы

Номер ограничений	Номер неизвестной 1 2... j	Тип ограничений	Ресурс
	a11	a12	...	aij	£	b1
	a21	a22	...	a2j	³	b2
...	...	...	...	...	...	...
i	ai1	ai2	...	aij	=
Z	c1	c2	...	cj	®	max(min)

Cостав коэффициентов матрицы:

1. технолого-экономические показатели ai

2. коэффициенты целевой функции cij

3. объемы ограничений bj

Технолого-экономические коэффициенты содержаться в левой части матрицы и несут основную информацию о решаемой задаче.

Технолого-экономические коэффициенты

коэффициенты коэффициенты нормативные

пропорциональности связки коэффициенты

по уровню по уровню

затрат производства

Коэффициенты пропорциональности вводятся в задачу по основным и дополнительным ограничениям с целью обеспечения пропорциональности в развитии города, региона и т.п. (соотношению половозрастных групп населения, развитости инфраструктуры и др.).

Пример:

Х₁ ≤ 0,5 Х2

Х₁ – количество школ;

Х₂ – количество магазинов.

0,5 - коэффициент пропорциональности

Коэффициент связки означает связь между значением переменной и объемом ограничений (равны единицы).

1Х₃ ≥ 3200

Х₃ – число учащихся.

1 - коэффициент связки = 1

Коэффициенты по уровню затрат - это затраты ресурсов (трудовых, денежно-материальных) на единицу продукции.

Коэффициенты по уровню обеспеченности школьников местами - это количество учащихся на одну школу.

3. Применение распределительного метода для решения градостроительных задач

1. Понятие и сущность распределительного метода.

2. Методы составления первоначального опорного плана.

3. Методы улучшения опорного плана.

4. Дополнительные случаи, возникающие при решении задач распределительного типа.

5. Решение задач с дополнительными ограничениями.

6. Вариантные решения задач с использованием матрицы оптимального плана.

7. Примеры решения землеустроительных задач.

1. Понятие и сущность распределительного метода.

Распределительный метод пригоден для решения широкого класса задач. Переменные в котором выражены в одних и тех же единицах измерения. Такие задачи могут решаться и симплекс-методом, но при использовании распределительного метода значительно упрощается процесс решения.

Распределительный метод применяется при решении задач, связанных с перевозками грузов - транспортная задача.

Сущность транспортной задачи.

Имеется m пунктов отправления грузов с запасом а_i (i= 1,2,3,...,m) и n пунктов назначения с потребностями в грузах b_j (j= 1,2,3,...,n).

Известна стоимость перевозки единицы груза по каждому возможному маршруту c _{i j}.

Требуется составить план перевозок, то есть определить сколько груза можно перевести по каждому маршруту Х₁₁, Х₁₂,..., Х_mn

Назначение Пункты отправления			J	n	Запасы Ai
	с11 х11	c12 х12	c1j х1j	c1n х1n	a1
	с21 х21	с22 х22	с2j х2j	с2n х2n	a2
i	сi1 хi1	сi2 хi2	сij хij	сin хin	ai
m	сm1 хm1	сm2 хm2	сmj хmj	сmn хmn	am
Потребность Bi	b1	b2	bj	bn	åAi å Bj

Условия задачи:

1. Количество перевозимых грузов по маршрутам должно равняться запасам имеющихся в пунктах отправления.

_m

å x _ij = A_ij (i= 1,2,3,...,m)

^j=1

2. Количество перевозимых грузов по маршрутам должно равняться потребности в пунктах назначения.

_n

å x _ij = B_ij (j= 1,2,3,...,n)

ⁱ⁼¹

3. Количество распределяемых грузов и потребности в них должны быть равны.

å A_ij = å B_ij

4. Переменные в задачи должны быть не отрицательны.