Однорідні диференціальні рівняння першого порядку

Означення: Рівняння виду P dx + Q dy = 0, (1)

де Р і Q- однорідні функції, х і у однакового степеня, називаються однорідним диференціальним рівнянням першого порядку.

Для інтегрування таких рівнянь проводять заміну змінних, покладаючи , тобто

> .

Ця підстановка зводить до диференціального рівняння відносно і , в якому змінні відокремлюються, після чого можна інтегрувати.

Для отримання кінцевої відповіді потрібно змінну замінити на

Приклад Розв'яжіть рівняння (2)

Розв'язування

Зведемо рівняння (2) до виду (1), помноживши обидві його частини на dx:

отримаємо:

;

або

у²dx + (x²-xy)dy = 0. (3)

У рівнянні (3)

Р = у² і Q = x² - xy

Як бачимо, Р і Q - однорідні функції х та у, причому обидві функції другого степеня; тому рівняння (2) однорідне.

Із рівняння (3) знайдемо :

/(-1)

(4)

Нехай

(5)

де z- нова функція х. Знайшовши z, ми отримаєм із рівності (5) шукану функцію

Для пошуку z продиференціюємо по х рівняння (5), застосувавши правило похідної :

,

де , а ,

тоді запишемо

(6)

Підставимо у рівняння (4) значення у і dy, взяті з рівняння (5) і (6)

(4)

одержимо

.

В одержаному рівнянні розділимо змінні:

домножимо обидві частини рівняння на

домножимо обидві частини рівняння на :

або

Відокремивши змінні у рівнянні, проінтегруємо його обидві частини:

.

В результаті інтегрування отримаємо:

, ( 7 )

де С запишемо як ,

Тепер рівняння набуде вигляду

,

С,

або

(8)

Із рівності (5) знаходимо > :

Замінивши у рівнянні (8) z знайденим його значенням, отримаємo

або

(9)

Рівняння - загальний розв'язок рівняння (2).

Відповідь: - загальний розв'язок диференціального рівняння.