Тема «Непосредственное вычисление вероятностей событий. Повторные испытания. Нормальное распределение»

П Р А К Т И К А

А) Из k экономистов и l агрономов случайным образом составляют комиссию в составе m человек. Найдите вероятность того, что в состав комиссии входит:

а) n агрономов;

б) меньше, чем n агрономов;

в) хотя бы один агроном.

Значения параметров k, l, m и n приведены в таблице.

k l m n

Б)

1. Доля плодов, зараженных болезнью в скрытой форме, составляет 20 %. Случайным образом отбирается шесть плодов. Найдите вероятность того, что в выборке окажется: а) ровно три зараженных плода; б) не менее одного заряженного плода.

2. В хлопке число длинных волокон составляет 80 %. Какова вероятность того, что среди взятых на удачу пяти волокон длинных окажется: а) три; б) не более двух.

3. Из партии, в которой доля первосортных деталей равна 0,8, отобрано 60 единиц (с возвратом). Определите вероятность того, что среди отобранных деталей окажется 45 первого сорта.

4. Что вероятнее в игре без ничьих двух равных по силам противников, выиграть 5 партий из 8 или 18 из 36?

5. Доля зараженности зерна вредителями в скрытой форме составляет 0,01. Определите вероятность того, что в выборке из 100 зерен окажется ровно три зараженных.

6. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор равна 0,02. Какое из двух событий вероятнее: в течение одной минуты позвонит три абонента; позвонит четыре абонента?

7. В среднем на 1 м² площади посева встречается 0,5 стеблей сорняков. Найдите вероятность того, что на 4 м² не окажется ни одного сорняка.

8. Среднее число заявок, поступающих на склад в течение месяца, равно двум. Найдите вероятность того, что в течение полумесяца поступит не более одной заявки.

9. Было посажено 400 деревьев. Найдите вероятность того, что число прижившихся деревьев больше 250, если вероятность, что отдельное дерево приживется, равна 0,8.

10. Найдите вероятность того, что в партии из 800 изделий число изделий высшего сорта заключено между 600 и 700, если вероятность, что отдельное изделие будет высшего сорта, равна 0,62.

11. Вероятность выигрыша по одной облигации трехпроцентного займа равна 0,25. Найдите вероятность того, что из восьми купленных облигаций выигрышными окажутся: а) три; б) не менее двух.

12. Вероятность успешной сдачи студентом каждого из пяти экзаменов равна 0,7. Найдите вероятность успешной сдачи: а) двух экзаменов; б) не менее двух экзаменов.

13. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 75 раз.

44. По закону Менделя, вероятность появления зеленого гороха при скрещивании желтого гибридного гороха равна . Какова вероятность того, что зеленый горох будет получен в 80 из 400 опытов?

15. Отбирается 5000 изделий. Доля брака составляет 0,0002. Найдите вероятность того, что в выборке окажется не более двух бракованных изделий.

16. Семена некоторой культуры в 1 кг содержат в среднем 5 зерен сорняков. Для некоторых опытов отвешивается 200 гсемян. Найдите вероятность того, что в 200 гне окажется ни одного зерна сорняков.

17. Вероятность, что посеянное зерно пшеницы не прорастет, равна 0,009. Найдите вероятность того, что из 1000 посеянных семян не прорастет не более 5 семян.

18. Средняя плотность болезнетворных бактерий в воздуха равна 100. Берется на пробу воздуха. Найдите вероятность того, что в нем будет обнаружена хотя бы одна бактерия.

19. Вероятность того, что изделие высшего качества, равна 0,5. Найдите вероятность того, что из 400 изделий число изделий высшего качества составит от 194 до 208.

20. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,75. Найдите вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) не менее 70 и не более 80 раз; б) не более 70 раз.

В)

1. Размер диаметра детали, выпускаемой цехом, распределяется по нормальному закону с параметрами Найдите вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали: а) составит от 4 до 7 см; б) отличается от математического ожидания не более чем на 2 см.

2. Размер диаметра детали, изготовляемой станком, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Ее дисперсия равна 0,0001 см², а математическое ожидание равно 2,5 см. Найдите границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр наудачу взятой детали.

3. Среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, равно 2 см, а математическое ожидание равно 16 см. Найдите границы, в которых с вероятностью 0,95 содержатся значения случайной величины.

4. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от номинала подчиняются нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и средним квадратическим отклонением 5 мм. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат? Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,95 среди них оказалась хотя бы одна бракованная деталь?

5. Отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Если стандартная длина равна и среднее квадратическое отклонение то какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,8?

6. Мастерская изготавливает изделия, длина которых представляет случайную величину, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием 25 см и средним квадратическим отклонением, равным 0,1 см. Найдите вероятность того, что отклонение длины изделия в ту или другую сторону от математического ожидания не превзойдет 0,25 см.

7. Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием Каково должно быть среднее квадратическое отклонение этой случайной величины, чтобы с вероятностью 0,8 отклонение ее математического ожидания по абсолютной величине не превышало 0,2?

8. Изделия распределяются по своим линейным размерам по нормальному закону с математическим ожиданием 6 см и дисперсией, равной Какова вероятность того, что взятое наудачу изделие будет иметь размеры в пределах: а) от 5,91 до 6,12 см; б) отклонится от математического ожидания на ±0,06 см.

9. Длина изготавливаемой автоматом детали представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с параметрами Найдите вероятность брака, если допустимые размеры детали заключены от 19,7 см до 20,3 см.

10. Случайная величина распределена по нормальному закону. Найдите если и

11. Случайная величина ― ошибка измерения прибора ―распределена по нормальному закону с дисперсией Систематическая ошибка прибора отсутствует. Найдите вероятность того, что ошибка измерения не превзойдет по модулю

12. Вес груза одного вагона ― случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и средним квадратическим отклонением 2 т. Найдите вероятность того, что вес груза очередного вагона не превысит 70 т.

13. Ошибка взвешивания ― случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием равным нулю и средним квадратическим отклонением 5 г. Найдите вероятность того, что взвешивание проведено с ошибкой, не превышающей по модулю 10 г.

14. Производят взвешивание вещества без систематических ошибок. Случайная ошибка взвешивания распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 20 кг и средним квадратическим отклонением 2 кг. Найдите вероятность того, что следующее взвешивание отличается от математического ожидания не более чем на 10 г.

15. Длина куска обоев в рулоне ― случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 18 м и средним квадратическим отклонением 0,3 м. Найдите вероятность того, что длина куска в случайно выбранном рулоне обоев будет меньше 17,5 м.

16. При определении расстояния радиолокатором случайные ошибки распределяются по нормальному закону. Какова вероятность того, что ошибка при определении расстояния не превысит 20 м, если известно, что систематических ошибок радиолокатор не допускает, а дисперсия ошибок равна

17. Случайная величина подчинена нормальному закону с математическим ожиданием, равным 0. Вероятность попадания этой случайной величины в интервал равна 0,5. Найдите среднее квадратическое отклонение.

18. Случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием 40 и дисперсией 100. Вычислите вероятность попадания этой случайной величины в интервал

19. Диаметр подшипников, изготовленных на заводе, представляет собой случайную величину, распределенную нормально с математическим ожиданием 1,5 см и средним квадратическим отклонением 0,01 см. Найдите вероятность того, что размер наугад взятого подшипника колеблется от 1 до 2 см.

20. Рост мужчины является случайной величиной распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 170 см, и дисперсией равной Найдите вероятность того, что трое наугад выбранных мужчин будут иметь рост от 170 до 175 см.

1. Таблица значений функции . x                     0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 0,3989 0,3970 0,3910 0,3814 0,3683 0,3521 0,3332 0,3123 0,2829 0,2661 0,2420 0,2179 0,1942 0,1714 0,1497 0,1295 0,1109 0,0940 0,0790 0,0656 0,0540 0,0440 0,0355 0,0283 0,0224 0,0175 0,0136 0,0104 0,0079 0,0060 0,0044 0,0033 0,0024 0,0017 0,0012 0,0009 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,3989 0,3965 0,3902 0,3802 0,3668 0,3503 0,3312 0,3101 0,2874 0,2637 0,2396 0,2155 0,1919 0,1619 0,1476 0,1276 0,1092 0,0925 0,0775 0,0644 0,0529 0,0431 0,0347 0,0277 0,0219 0,0171 0,0132 0,0101 0,0077 0,0058 0,0043 0,0032 0,0023 0,0017 0,0012 0,0008 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,3989 0,3961 0,3894 0,3790 0,3653 0,3485 0,3292 0,3079 0,2850 0,2613 0,2371 0,2131 0,1895 0,1669 0,1456 0,1257 0,1074 0,0909 0,0761 0,0632 0,0519 0,0442 0,0339 0,0270 0,0213 0,0171 0,0132 0,0099 0,0075 0,0056 0,0042 0,0031 0,0022 0,0016 0,0012 0,0008 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,3988 0,3956 0,3885 0,3778 0,3637 0,3467 0,3271 0,3056 0,2827 0,2589 0,2374 0,2107 0,1872 0,1647 0,1435 0,1238 0,1057 0,0893 0,0748 0,0620 0,0508 0,0413 0,0332 0,0264 0,0208 0,0163 0,0126 0,0096 0,0073 0,0055 0,0040 0,0030 0,0022 0,0016 0,0011 0,0008 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002 0,3986 0,3951 0,3876 0,3765 0,3621 0,3448 0,3251 0,3034 0,2803 0,2565 0,2323 0,2083 0,1849 0,1626 0,1415 0,1219 0,1040 0,0878 0,0734 0,0608 0,0498 0,0404 0,0325 0,0258 0,0203 0,0158 0,0122 0,0093 0,0071 0,0053 0,0039 0,0029 0,0021 0,0015 0,0011 0,0008 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002 0,3984 0,3945 0,3867 0,3752 0,3605 0,3429 0,3230 0,3011 0,2780 0,2541 0,2299 0,2059 0,1826 0,1604 0,1394 0,1200 0,1023 0,0863 0,0721 0,0596 0,0488 0,0396 0,0317 0,0252 0,0196 0,0154 0,0119 0,0091 0,0069 0,0051 0,0038 0,0028 0,0020 0,0015 0,0010 0,0007 0,0005 0,0004 0,0002 0,0002 0,3982 0,3939 0,3857 0,3739 0,3589 0,3410 0,3209 0,2989 0,2756 0,2516 0,2275 0,2036 0,1814 0,1582 0,1374 0,1182 0,1006 0,0848 0,0707 0,0584 0,0478 0,0387 0,0310 0,0246 0,0194 0,0151 0,0116 0,0088 0,0067 0,0050 0,0037 0,0027 0,0020 0,0014 0,0010 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002 0,3980 0,3932 0,3847 0,3726 0,3572 0,3391 0,3187 0,2966 0,2732 0,2492 0,2251 0,2012 0,1781 0,1561 0,1354 0,1163 0,0989 0,0833 0,0694 0,0573 0,0486 0,0379 0,0303 0,0241 0,0189 0,0147 0,0112 0,0086 0,0065 0,0048 0,0036 0,0026 0,0019 0,0014 0,0010 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002 0,3976 0,3925 0,3836 0,3712 0,3555 0,3372 0,3166 0,2943 0,2709 0,2468 0,2227 0,1989 0,1758 0,1539 0,1334 0,1145 0,0973 0,0818 0,0681 0,0562 0,0459 0,0371 0,0297 0,0235 0,0184 0,0143 0,0110 0,0084 0,0063 0,0047 0,0035 0,0025 0,0018 0,0013 0,0009 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0001 0,3973 0,3918 0,3825 0,3697 0,3538 0,3552 0,3144 0,2920 0,2685 0,2444 0,2203 0,1965 0,1736 0,1518 0,1315 0,1127 0,0957 0,0804 0,0669 0,0551 0,0449 0,0363 0,0290 0,0229 0,0180 0,0139 0,0107 0,0081 0,0061 0,0046 0,0034 0,0025 0,0018 0,0013 0,0009 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001

2. Таблица значений функции Лапласа x Ф(х) x Ф(х) x Ф(х) x Ф(х) 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,0000 0,0080 0,0160 0,0239 0,0319 0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0,2881 0,2939 0,2995 0,3051 0,3106 1,60 1,62 1,64 1,66 1,68 0,4452 0,4474 0,4495 0,4515 0,4535 2,40 2,42 2,44 2,46 2,48 0,4918 0,4922 0,4927 0,4931 0,4934 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,0398 0,0478 0,0557 0,0636 0,0714 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 0,3159 0,3212 0,3264 0,3315 0,3365 1,70 1,72 1,74 1,76 1,78 0,4554 0,4573 0,4591 0,4608 0,4625 2,50 2,52 2,54 2,56 2,58 0,4938 0,4941 0,4945 0,4948 0,4951 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,0793 0,0871 0,0948 0,1026 0,1103 1,00 1,02 1,04 1,06 1,08 0,3413 0,3461 0,3508 0,3554 0,3599 1,80 1,82 1,84 1,86 1,88 0,4641 0,4656 0,4671 0,4686 0,4699 2,60 2,62 2,64 2,66 2,68 0,4953 0,4956 0,4959 0,4961 0,4963 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,1255 0,1331 0,1406 0,1480 0,1554 1,10 1,12 1,14 1,16 1,18 0,3643 0,3686 0,3729 0,3770 0,3810 1,90 1,92 1,94 1,96 1,98 0,4713 0,4726 0,4738 0,4750 0,4761 2,70 2,72 2,74 2,76 2,78 0,4965 0,4967 0,4969 0,4971 0,4973 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,1628 0,1700 0,1772 0,1844 0,1915 1,20 1,22 1,24 1,26 1,28 0,3849 0,3882 0,3925 0,3962 0,3997 2,00 2,02 2,04 2,06 2,08 0,4772 0,4783 0,4793 0,4803 0,4812 2,80 2,82 2,84 2,86 2,88 0,4974 0,4976 0,4977 0,4979 0,4980 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,1955 0,1985 0,2054 0,2123 0,2190 1,30 1,32 1,34 1,36 1,38 0,4032 0,4066 0,4099 0,4131 0,4162 2,10 2,12 2,14 2,16 2,18 0,4821 0,4830 0,4838 0,4846 0,4854 2,90 2,92 2,94 2,96 2,98 0,4981 0,4982 0,4984 0,4985 0,4986 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,2257 0,2324 0,2389 0,2454 0,2517 1,40 1,42 1,44 1,46 1,48 0,4192 0,4222 0,4251 0,4279 0,4306 2,20 2,22 2,24 2,26 2,28 0,4861 0,4868 0,4875 0,4881 0,4887 3,00 3,20 3,40 3,60 3,80 0,49865 0,49931 0,49966 0,499841 0,499928 0,70 0,72 0,74 0,76 0,78 0,2580 0,2642 0,2703 0,2764 0,2823 1,50 1,52 1,54 1,56 1,58 0,4332 0,4357 0,4382 0,4406 0,4429 2,30 2,32 2,34 2,36 2,38 0,4893 0,4898 0,4904 0,4909 0,4913 4,00 4,50 5,00 0,499968 0,499997 0,499999 0,5

3. Критические точки распределения Стьюдента.