Понятие группы. Примеры групп

Определение. Пусть G – некоторое множество. Бинарной операцией на G называется произвольное отображение . Если , то результат бинарной операции чаще всего будем обозначать , где – знак бинарной операции.

Определение. Множество G с бинарной операцией называется группой, если

1) ;

2) , этот элемент e будем называть единицей группы G;

3) , элемент g будем называть обратным к g.

Если к условиям 1) – 3) добавить условие

4) , то группа G называется коммутативной или абелевой. В этом случае знак бинарной операции обозначают как , что мы и будем делать.

Результат бинарной операции в дальнейшем будем называть произведением, а – суммой.

Прежде всего, заметим, что благодаря условию 1) произведение нескольких элементов группы можно записывать без скобок. Далее, отметим, что единица в группе может быть только одна. Действительно, если два элемента обладают свойством 2), то .

Обратный элемент для данного элемента также может быть только один. Если бы существовало два элемента обладающих свойством 3), то .

Задача 1.3.1. Определите, будет ли следующая операция (*), заданная на множестве действительных чисел ассоциативной. Если да, то выясните, выполняются ли условия 2) и 3) в определении группы. а) б)

а) Таким образом, следовательно, операция (*) ассоциативна. Проверим наличие единицы. что выполняется, если Значит, роль единицы играет Проверим существование обратного. Если то Таким образом, обратный элемент существует не для всех действительных чисел, а только для ненулевых. Таким образом, множество с операцией (*) не будет группой. Заметим однако, что если бы мы рассматривали множество без нуля, мы получили бы группу.

б) Решите самостоятельно.

Приведем примеры групп.

Пример 1. Множество целых чисел , рациональных чисел , действительных чисел , комплексных чисел с обычной операцией сложения являются абелевыми группами.

Пример 2. Множества положительных рациональных чисел , положительных действительных чисел с обычной операцией умножения являются абелевыми группами.

Пример 3. Множество всех матриц с действительными элементами и с отличным от нуля определителем образуют группу относительно операции произведения матриц (уже не абелеву).

Пример 4. Пусть n – фиксированное натуральное число, большее единицы. Рассмотрим множество символов . На этом множестве определим операцию . Положим , где – остаток от деления числа k+l на n. Нетрудно проверить, что получится абелева группа. Она называется группой вычетов по модулю n и обозначается символом . Например, в группе

Пример 5. Пусть – множество из n первых натуральных чисел. Взаимно однозначные отображения множества A в себя называются подстановками и записываются в виде .

Роль операции играет суперпозиция отображений. Отметим, что суперпозиция действует справа налево. Например, если a и b – подстановки, а , то , т.е. сначала на элемент действует b, а потом a. Единицей является тождественное отображение e. Легко убедиться, что каждая подстановка имеет обратную. Кроме того, суперпозиция отображений всегда обладает свойством ассоциативности. Поэтому подстановки образуют группу, которую мы принято называть симметрической группой и обозначать . Эта группа некоммутативна. Число подстановок на n символах равно n! Поэтому В частности,

Пример 6. Рассмотрим группу, состоящую из элементов Перемножаются они следующим образом: . Умножение на (–1) соответствует смене знака. Если под понимать единичные векторы (орты) координатных осей декартовой системы координат в пространстве, то умножение элементов соответствует векторному произведению ортов. Эта группа называется группой кватернионов и обозначается .

В 1.1 мы дали определение движения плоскости. Далее сформулируем понятие группы движений геометрической фигуры.

Определение. Пусть – некоторая фигура на плоскости, которую мы понимаем как множество точек. Будем говорить, что движение плоскости f оставляет фигуру на месте, если для любой точки точка также принадлежит . Или более формально, если .

Множество всех движений, оставляющих фигуру на месте, образует группу, которая называется группой движений фигуры .

Пример 7. Группа движений правильного n -угольника обозначается . Рассмотрим группу движений правильного треугольника. Пусть – правильный треугольник на плоскости (нумерация вершин по часовой стрелке), и точка O – его центр.

Cуществует 6 движений, оставляющих треугольник ABC на месте:

j – поворот на вокруг центра треугольника, точки O, против часовой стрелки;

– поворот на ;

a – симметрия относительно прямой, проходящей через точки A и O;

b – симметрия относительно прямой BO;

c – симметрия относительно прямой CO;

e – тождественное преобразование.

Каждая конечная группа может быть задана таблицей умножения, которая иначе называется таблицей Кэли. Для составления таблицы Кэли элементы группы выписываются по горизонтали и вертикали в определенном порядке. В клетке на пересечении строки и столбца пишется элемент gh.

Выпишем таблицу Кэли для группы .

Таблица Кэли обладает важным свойством: в каждой строке и каждом столбце каждый элемент группы встречается ровно один раз. Таким образом, каждый столбец и каждая строка являются некоторой перестановкой элементов группы.

Ответы

1.3.1.б) Операция (*) не является ассоциативной.