Производная по направлению и градиент

Пусть функция дифференцируема в точке .

Производная функции по направлению вектора находится по формуле

,

где – единичный вектор заданного направления , , – направляющие косинусы вектора, которые находятся по формулам

.

Производная по направлению является скоростью изменения функции в точке по направлению .

Абсолютная величина производной по направлению определяет величину скорости, а знак производной – характер изменения функции (возрастание или убывание).

Градиентом функции в точке называется вектор, обозначаемый символом и равный

,

т.е. вектор, проекции которого на координатные оси Ох, Оу, Oz равны соответственно частным производным по х, у, z в точке от функции .

Градиент U в данной точке по численному значению и по направлению характеризует наибольшую скорость возрастания величины U.

Пример

Для функции в точке найти градиент и производную по направлению .

Решение

Градиент находим по формуле , где

тогда

.

Производная по направлению: ,

где , тогда

Краткое содержание (программа) курса