Примеры решения задач. Пример 1. Для схемы, приведенной на рисунке 1,а определить эквивалентное сопротивление цепи и токи в каждом резисторе

Пример 1. Для схемы, приведенной на рисунке 1,а определить эквивалентное сопротивление цепи и токи в каждом резисторе. ЭДС источника Е= 22.8 В, внутреннее сопротивление источника r=2 Ом, R1=3 Ом, R2=6 Ом, R3=3 Ом, R4= 1 Ом, R5= 4 Ом. Найти мощности пассивных элементов, мощность источника и составить баланс мощностей

Решение

Для расчета подобных цепей применяют метод преобразования (свертывания) схем, в результате которого они приводятся к простейшему виду. Предварительно обозначим стрелкой ток в каждом резисторе, индекс тока должен соответствовать номеру резистора, по которому он проходит.

1) Элементы Rз и R4, соединенные последовательно, заменим одним с сопротивлением R₃₄ = Rз + R4=3+1=4Ом и получим более простую схему рис. 1, б.

2) В этой схеме элементы R₂ и R₃₄ соединены параллельно. Их тоже заменим эквивалентным сопротивлением R₂₃₄= R₂R₃₄/(R₂+R₃₄)=4·6/(4+6)= 2.4 Ом. После замены получается еще более простая схема (рис. 1, в), в которой все элементы соединены последовательно.

3) Общее (эквивалентное) сопротивление внешней части цепи

R= R_l + R₂₃₄ + R₅=3+4+2.4=9.4 Ом. Такая замена приводит к простейшей схеме (рис.1,г), в которой ток I₁=E/(r+R)=22.8/(2+9.4)=2 А. Из рисунка видно, что I₁=I₂₃₄=I₅.

4) Для определения токов во второй и третьей ветвях надо прежде найти напряжение между узловыми точками по схеме рис. 1,в U_аб= I₁R₂₃₄= 2·2.4=4.8 В. Токи I₂ и I₃ легко определить по закону Ома (рис.1,б): I₂=Uаб/R₂=4.8/6=0.8 А; I₃=U_аб/R₃₄=4.8/4=1.2 А; I₃=I₄.

5) После определения токов нетрудно найти мощности пассивных элементов, мощность источника, применяя уже известные формулы, и составить баланс мощностей: Р - Р_О = Р₁ + Р₂ + Р_з+Р₄+Р₅, где Р_О - мощность потерь.

Р₁=I₁U₁=I₁²R₁=2²·3=12 Вт; Р₂=I₂²R₂=0.8²·6=3.84 Вт; Р₃=I₃²R₃=1.2²·3=4.32 Вт;

Р₄=I₄²R₄=1.2²·1=1.44 Вт; Р₅=I₅²R₅=2²·4=16 Вт; Р₀=I₁²r=2²·2=8 Вт;

Р=I₁U_аб=22.8·2=45.6 Вт; 45.6-8=12+3.84+4.32+1.44+16; 37.6=37.6.

Пример 2: В схеме определить токи в ветвях, если известно: E₁=253 В, E₂=225 В, R₁= 1 Ом, R₂= 1 Ом, R₃= 1 Ом, R₄= 40 Ом, R₅= 20 Ом, R₆= 40 Ом

Решение:

1. Задаем направления токов отдельных ветвей.
2. Выбираем контуры и задаем направления их обхода.
3. Записываем уравнения по первому закону Кирхгофа для трех узлов, допустим а, в, с.

I₂-I₁-I₃=0

I₁-I₄-I₆=0

I₃+I₄-I₅=0

1. Записываем уравнения по второму закону Кирхгофа.

I₁R₁+I₄R₄-I₃R₃=E₁

I₂R₂+I₃R₃+I₅R₅=E₂

I₄R₄+I₅R₅-I₆R₆=0

В нашей схеме шесть неизвестных токов и мы записали шесть уравнений.

1. Подставляем значения и решаем полученную систему уравнений.

I₂-I₁-I₃=0

I₁-I₄-I₆=0

I₃+I₄-I₅=0

I₁+I₄40-I₃=253

I₂+I₃+I₅20=225

I₄40+I₅20-I₆40=0

Систему уравнений решаем с помощью программы EXСEL.

Для этого представляем систему в матричном виде.

Из уравнения А·I=В следует, что I=А^-1·В, где А^{-1 —} обратная матрица.

Для расчета А^-1 выбираем функцию МОБР, а произведение (А^-1·В) выполняем с помощью функции МУМНОЖ.

После выполнения указанных операций, получаем следующие значения токов:

I₁=17 А, I₂= 21 А, I₃=4 А, I₄=6 А, I₅=10 А, I₆=11 А

Пример 3. Неразветвленная цепь переменного тока содержит катушку с активным сопротивлением R_K = 3 Ом и индуктивным X_L = 12 Ом, активное сопротивление R = 5 Ом и конденсатор с сопротивлением Хс = 6 Ом (рис. 2, а). К цепи приложено напряжение U = 100 В (действующее значение). Определить: 1) полное сопротивление цепи; 2) ток; 3) коэффициент мощности; 4) активную, реактивную и полную мощности; 5) напряжение на каждом сопротивлении. Начертить в масштабе векторную диаграмму цепи.

Решение:

1. Определяем полное сопротивление цепи:

Z =((R_К+R)²+(X_L-X_C)²)^1/2 =((3+5)²+(12-6)²)^1/2 = 10 Ом.

2. Определяем ток цепи

I = U/Z = 100/10 = 10 А.

3. Находим коэффициент мощности цепи. Во избежание потери знака угла (косинус - функция четная) определяем sin φ: sin φ = (X_L-X_C) /Z = (12 - 6)/10 = 0,6; φ = 36⁰50'; коэффициент мощности cos φ = cos 36⁰50' = 0,8.

4. Определяем активную, реактивную и полную мощности цепи:

Р =U Icos φ= 100·10·0,8 = 800 Вт, или Р = I²(R_K + R) = 102 (3+5) = 800 Вт;

Q = I² (X_L-X_C) = 10²(12 - 6) = 600 вар, или Q = U Isin φ = 1000·10·0,6 = 600 вар;

S = UI = 100·10 = 1000 В·А или S =I²Z= 10²·10 = 1000 В· A,
или S =(P²+Q²)^1/2= (800² + 600²)^1/2= 1000 В· А.

5. Определяем падения напряжения на сопротивлениях цепи:

U_RK = 10·3 = 30 В; U_L =IX_L = 10·12 = 120 В; U_R = IR = 10·5 = 50 В; U_C = IХс = 10·6 = 60 В.

Построение векторной диаграммы начинаем с выбора масштаба для тока и напряжения. Задаемся масштабом по току: в 1 см – 2,0 А и масштабом по напряжению: в 1 см - 20 В. Построение векторной диаграммы (рис. 2, б) начинаем с вектора тока, который откладываем по горизонтали в масштабе 10 А/2 А/см = 5 см.

Вдоль вектора тока откладываем векторы падений напряжения на активных сопротивлениях

U_RK и U_R: 30 В/20 В/см = 1,5 см; 50 В/20 В/см = 2,5 см.

Из конца вектора UR откладываем в сторону опережения вектора тока на 90° вектор падения напряжения UL на индуктивном сопротивлении длиной 120 В/20 В/см = 6 см. Из конца вектора ULоткладываем в сторону отставания от вектора тока на 90° вектор падения

напряжения на конденсаторе U_С длиной 60 В/20 В/см = 3 см. Геометрическая сумма векторов

U_RK, U_R,U_L, UCравна полному напряжению, приложенному к цепи.

Пример 4. Цепь переменного тока состоит из двух ветвей, соединенных параллельно. Первая ветвь содержит катушку с активным R ₁ = 12 Ом и индуктивным X_L= 16 Ом сопротивлениями; во вторую ветвь включен конденсатор с емкостным сопротивлением Хс = 8 Ом и последовательно с ним активное сопротивление R₂ = 6 Ом. Активная мощность, потребляемая первой ветвью, Р₁ = 48 Вт (рис. 3, а). Определить: 1) токи в ветвях и в неразветвленной части цепи; 2) активные и реактивные мощности цепи; 3) напряжение, приложенное к цепи; 4) угол сдвига фаз между током в неразветвленной части цепи и напряжением. Начертить в масштабе векторную диаграмму цепи.

Решение.

1. Активная мощность Р₁ теряется в активном сопротивлении R₁. Поэтому Р₁ = I₁² R₁. Отсюда

I₁= (P₁/R₁)^1/2=(48/12)^1/2= 2 А.

2. Определяем напряжение, приложенное к цепи:

U_AB = I₁Z₁ = I₁(R₁²+X_L²)^1/2= 2(12² + 16²)^1/2= 40 В.

3. Определяем ток:

I₂ = U_AB/Z₂= U_AB/(R₂²+X_C²)^1/2= 40/(6² + 8²)^1/2= 4 А.

4. Находим активную и реактивную мощности, потребляемые цепью:

Р = I₁²R₁+I₂²R₂= 2²·12 + 4²·6 = 154 Вт;
Q = I₁²X_L-I₂²R₂= 2₂·16 - 4²·8 = - 64 вар.

Знак <-> показывает, что преобладает реактивная мощность емкостного характера.

Полная мощность, потребляемая цепью, S =(P²+Q²)^1/2=(154² + 64²)^1/2= 166,8 В· А.

5. Определяем ток в неразветвленной части цепи:

I = S/U_AB = 166,8/40 = 4,17 А.

6. Угол сдвига фаз во всей цепи находим через sin φ во избежание потери знака угла:

sin φ = Q/S = -64/166,8 = -0,384; φ = -22°35'.

Знак <-> подчеркивает, что ток цепи опережает напряжение U _АВ.

Для построения векторной диаграммы определяем углы сдвига фаз в ветвях:

sin φ₁ = X_L/Z₁ = 16/(12² + 16²)^1/2 = 0,8; φ₁ = 53°10';

sin φ₂ = X_C/Z₂ = -8/(6² + 8²)^1/2 =- 0,8; φ₂ = -53°10'.

Задаемся масштабом по току: в 1 см - 1 А и напряжению: в 1 см- 5 В. Построение начинаем с вектора напряжения (рис. 3, б). Под углом φ₁ к нему в сторону отставания откладываем в масштабе вектор тока I₁; под углом φ₂ в сторону опережения - вектор тока I₂.Геометрическая сумма этих токов равна току в неразветвленной части
цепи.

Пример 5. В четырехпроводную сеть включена несимметричная нагрузка, соединенная в звезду (рис. 4 а).Линейное напряжение сети U_ном = 380 В. Определить токи в фазах и начертить векторную диаграмму цепи в нормальном режиме и при отключении автомата в
линейном проводе А. Из векторных диаграмм графически найти ток в нулевом проводе в обоих случаях.

Решение. Определяем:
1. Фазное напряжение

U_Ф = U_ном/З ^1/2= 380/1,73 = 220 В.

2. Токи в фазах: I_А= U_ф/Z_А= U_ф/(R_А²+X_А²)^1/2=220/(8²+6²)^1/2=22А;

I_В= U_ф/Z_В= U_ф/(R_В²+X_В²)^1/2=220/(3²+4²)^1/2=44А; I_С= U_ф/Z_С= U_ф/(R_С²+X_С²)^1/2=220/10=22А

Z=(R²+X_L²)^1/2=(20²+1.2²)^1/2=96 Ом.

3. Углы сдвига фаз в каждой фазе:

sin φ_А= Х_А/ Z_A =- 6/(8²+6²)^1/2= -0.6; φ_А = - 36°50'; sin φ_В= Х_В/ Z_В =4/(3²+4²)^1/2= 0.8; φ_В = 53°10';

φ_С = О, так как в фазе С есть только активное сопротивление.

4. Для построения векторной диаграммы выбираем масштабы по току: 1 см - 10 А и напряжению: 1 см - 40 В. Построение диаграммы начинаем с векторов фазных напряжений U_A, U_B, U_C (рис. 4, б), располагая их под углом 120° друг относительно друга. Чередование
фаз обычное: за фазой А - фаза В, за фазой В- фаза С. В фазе А угол сдвига φ_А отрицательный, т. е. ток I_Аопережает фазное напряжение UА на угол φ_А = - 36°50'. Длина вектора тока I_Ав принятом масштабе составит 22/10 = 2,2 см, а длина вектора фазного напряжения UA - 220/40 = 5,5 см. В фазе В угол сдвига φ_В> О, т. е. ток отстает от фазного напряжения U_B на угол φ_В= 53° 10'; длина вектора тока I_Вравна 44/10 = 4,4 см. В фазе С ток напряжение U_C совпадают по фазе, так как φ_С = 0. Длина вектора тока I_С составляет 22/10 = 2,2 см.

Ток в нулевом проводе I₀ равен геометрической сумме трех фазных токов. Измеряя длину вектора тока I₀, получаем в нормальном режиме 4,5 см, поэтому I₀ = 45 А. Векторы линейных напряжений на диаграмме не показаны, чтобы не усложнять чертеж.

5. При отключении линейного автомата в фазе Ана векторной диаграмме остаются фазные напряжения U_B и U_C и продолжают протекать в этих фазах токи I_Ви I_С. Ток I_А= 0. Поэтому ток в нулевом проводе I₀^'равен геометрической сумме токов фаз В и С (рис. 4, б).
Измеряя длину вектора тока I₀^', получаем 5,5 см, или 55 А.

Пример 6. В трехфазную сеть включили треугольником несимметричную нагрузку (рис.5, а): в фазу АВ - активное сопротивление R_AB = 10 Ом; в фазу ВС- индуктивное сопротивление Х_ВС= 6 Ом и активное R_BС = 8 Ом; в фазу СА - активное сопротивление R_CA = = 5 Ом. Линейное напряжение сети U_ном = 220 В. Определить фазные токи и начертить векторную диаграмму цепи, из которой графически найти линейные токи в следующих случаях: 1) в нормальном режиме; 2) при аварийном отключении линейного провода А; 3) при аварийном
отключении фазы АВ.

Решение:

1. Нормальный режим. Определяем фазные токи: I_АВ = U_ном/R_AB =220/10=22 А; I_ВC = U_ном/Z_BC =U_ном/(R_ВС²+X_ВС²)^1/2=220/(8²+6²)^1/2=22А;
I_СА = U_ном/R_СА =220/5= 44 А. Вычисляем углы сдвига фаз в каждой фазе: φ_АВ = 0; sinφ_ВС =
= Х_ВС/ Z_BC = 6/(8²+6²)^1/2= 0,6; φ_ВС = 36°50'; φ _СА = 0.

Для построения векторной диаграммы выбираем масштаб по току: 1 см - 10 А и напряжению: 1 см - 40 В. Затем в принятом масштабе откладываем векторы фазных (они же линейные) напряжений U_AB, U_BC, U_CA под углом 120° друг относительно друга (рис. 5, б). Затем откладываем векторы фазных токов: ток в фазе АВ совпадает с напряжением U_AB; в фазе ВС ток отстает от напряжения U_BC на угол φ_ВС = 36°50'; ток в фазе СА совпадает с напряжением U_CA. Затем строим векторы линейных токов на основании известных уравнений: I_A = I_AB + (- I_CA); I_B = I_BC + (- I_AB); I_С = I_CA + (- I_BC). Измеряя длины векторов линейных токов и пользуясь масштабом, находим их значение: I_A = 55 А;

I_B = 43 А; I_С = 48 А.

2. Аварийное отключение линейного провода А. В этом случае трехфазная цепь превращается в однофазную с двумя параллельно включенными ветвями САВ и ВС и рассчитывается как обычная однофазная схема с одним напряжением U_BC.

Определяем токи I_САВ и I_ВС.

Полное сопротивление ветви Z_CAB = RCA + RAB = 5 + 10 = 15 Ом.

Сила тока I_САВ= U_BC /Z_CAB= 220/15 = 14,7 А; φ_САВ=0.

Полное сопротивление ветви ВС Z_BC = (R_ВС²+X_ВС²)^1/2=(8²+6²)^1/2 = 10 Ом.

Сила тока IBC = 220/10 = 22 А; φ_BC = 36°50'. На рис. 6, г построена векторная диаграмма цепи. Из диаграммы находим линейные токи: I_B = I_C= 38 А. По направлению же эти токи обратны.

3. Аварийное отключение фазы АВ. При этом ток в отключенной фазе равен нулю, а токи в двух других фазах остаются прежними. На рис. 5, гпоказана векторная диаграмма для этого случая. Ток I_АВ=0, линейные токи определяются согласно уравнениям: I_A = I_AB + (- I_CA); I_B = I_BC + (- I_AB); I_С = I_CA + (- I_BC). Таким образом только линейный ток I_С сохраняет свою величину; токи I_А и I_В изменяются до фазных значений. Из диаграммы графически находим I_А=44 А, I_В =45 А.