Метод золотого сечения

Золотое сечение проводит деление отрезка АВ на две неравные части так, чтобы было справедливо соотношение (рис. 7).

Рис. 7

Метод золотого сечения позволяет сужать отрезок [a, b] каждый раз вычисляя лишь одно значение F(x), а не два, как в методе дихотомии.

Данный метод реализуется следующим алгоритмом:

1. Находим коэффициент дробления k=(√5-1)/2 отрезка [a, b].

2. Находим абсциссу х₁=a + (1-k)*(b-a) и вычисляем F(x₁).

3. Находим абсциссу х₂=a + k*(b-a) и вычисляем F(х₂).

4. Проверяем выполнение условия |x₂-x₁|<E, где E – заданная погрешность вычисления x_n. Если это условие выполняется, вычисляем x_n = (x₁+ x₂)/2 и F(x_n), после чего останавливаем счёт с выдачей значений x_m и F(x_n). Если данное условие не выполняется, идём к п.5.

5. Проверяем условие F(x₁) < F(x₂). Если оно выполняется, полагаем, а = х₁, х₁ = х₂ и F(x₁) = F(x₂), после чего идём к п.3. и п.4.

Если F(x₁) ≥ F(x₂), полагаем b = x₂, x₂ = x₁, f(x₁) = f(x₂), после чего выполняем п.2 и п.4