Модуль №4

Метрические задачи

Задачи в рабочей тетради на странице 37 графически решаются просто. Такие задачи приводятся для того, чтобы Вы обратили особое внимание на их решение, т.к. в дальнейших сложных (конструктивных) задачах эти решения будут определять "решающее положение оригинала" (Модуль 4, ст. 23).

Задачи на определение расстояний между геометрическими фигурами (Модуль 4, стр. 8)

К таким задачам относятся: задачи на определение расстояний от точки до прямой, до плоскости, до поверхности; между параллельными и скрещивающимися прямыми; между параллельными плоскостями и т. п.

Все эти задачи объединяют три обстоятельства:

во-первых, поскольку кратчайшим расстоянием между такими фигурами является перпендикуляр, то все они сводятся к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.

во-вторых, в каждой из этих задач необходимо определять натуральную длину отрезка, то есть решать вторую основную метрическую задачу.

в-третьих, это сложные по составу задачи, они решаются в несколько этапов, и на каждом этапе решается отдельная, небольшая конкретная задача.

Задача №81

Определить расстояние между прямыми. Прямые а и в занимают положение горизонтально проецирующих прямых

Расстояние между прямыми - это перпендикуляр n(n₁,n₂).

n - горизонталь, т.к. а и в ^ П₁, но n ^ а и в, значит n || П₁.

Решающее положение для определения расстояния между параллельными прямыми.

Горизонтальная проекция n Þ n₁ есть искомая величина, т.к. перпендикуляр занимает положение горизонтали.

Задача №82

Определить расстояние между прямыми. Прямые с и d параллельны и занимают положение фронталей.

Расстояние между прямыми - это перпендикуляр n(n₁,n₂).

Начинаем построение с n₂ (теорема о проецировании прямого угла), n₂ ^ с_2, d₂ Þ n₁

Натуральной величины на чертеже нет, т.к. n(n₁,n₂) – прямая общего положения

Определяем n методом прямоугольного треугольника.

Задача №83

Определить расстояние между прямыми. Прямые: l - горизонтально проецирующая, m - общего положения.

Расстояние между прямыми - это перпендикуляр n(n₁,n₂).

Т.к. l ^^ П₁, то перпендикуляр к ней - есть горизонталь, и по теореме о проецировании прямого угла проводим n₁ ^ m₁, n Ç m Þ 1(1₁).

Решающее положение для определения расстояния между прямыми.

Горизонтальная проекция n Þ n₁ есть искомая величина.

Задача №84

Определить расстояние от точки до прямой:

Расстояние между точкой и прямой - это перпендикуляр n(n₁,n₂).

Решающее положение для определения расстояния между точкой и прямой.

Горизонтальная проекция n Þ n₁ есть искомая величина, т.к. перпендикуляр занимает положение горизонтали (аналогично заданию №81)

Задача №85

Определить расстояние от точки до прямой

Расстояние между прямыми - это перпендикуляр n(n₁,n₂).

Начинаем построение с n₂,т.к. f || П₁, n₂ ^ f₂ (теорема о проецировании прямого угла).

На чертеже нет натуральной величины n, т.к. n(n₁,n₂) – прямая общего положения

Определяем | n | методом прямоугольного треугольника.

Просмотрите решенные задачи, назовите номера задач, в которых сразу получается "решающее положение", без дополнительных построений. Алгоритм решения написать самостоятельно (Модуль 4).

Задача №86

Построить сферу с центром в точке О, касательную к прямой h.

Если найти точку касания сферы с прямой h(h₁,h₂) и соединить ее с центром О(О₁,О₂), то этот отрезок определит радиус R(R₁,R₂) сферы. Кратчайшее расстояние определяется перпендикуляром, следовательно, проводим R ^ h (R₁ ^ h₁).

OK = R - прямая общего положения, поэтому на П₁ и П₂ радиус спроецировался с искажением

Методом прямоугольного треугольника определяем натуральную величину R(ОК) Þ О₁К₀.

Построить проекции сферы, замерив полученное значение R(О₁К₀).

Задача №87

Через точку М провести прямую n ^ S(h || k)

Взаимная перпендикулярность прямой и плоскости подробно рассмотрена в Модуле 4, стр. 2,3,4.

n ^ S Þ n₁ ^ h₁; n₂ ^ f₂

S - плоскость общего положения, но задана двумя параллельными горизонталями, поэтому сразу можно построить через точку М₁ Î n₁, n₁ ^ h₁.

В любом месте построить f(f₁,f₂), принадлежащую плоскости S, затем через М₂Î n₂ провести n₂ ^ f₂

Задача №88

Задачу решить самостоятельно, построив сначала h и f Ì S, затем n₁ ^ h₁, n₂ ^ f₂

Задача №89

Определить расстояние от точки М до плоскости S(h Ç f).

Как уже отмечалось (М4 -8), это сложные по составу задачи, они решаются в несколько этапов, и на каждом этапе решается отдельная, небольшая конкретная задача.

В данном случае, эта графически сложная задача состоит из трех задач, которые встречались Вам раньше:

1) Из точки М построить n ^ S (задания №87, 88);

2) Найти точку пересечения n Ç S Þ К (первая ГПЗ по 3 алгоритму);

3) S - плоскость общего положения, следовательно, n - прямая общего положения (М4-2,3).

Методом прямоугольного треугольника найти | n | (задания №82,85,86)

Из точки М провести перпендикуляр к плоскости S: т.е. n₁ ^ h₁; n₂ ^ f₂

Построить точку пересечения n Ç S Þ К, 1 ГПЗ 3алгоритм.

Г - плоскость посредник, Г ^^ П₂, nÉ Г Þ Г₂ = n₂

Г Ç S = 1,2 (прямая) 2 ГПЗ 2 алгоритм,

1₁2₁ Ç n₁ Þ К₁, К Î n Þ К₂.

МК - искомый отрезок.

МК - отрезок общего положения. |МК| = М₂К₀ - натуральная величина.

Задача №90

Определить расстояние от точки М до плоскости S(S₂).

Если плоскость S занимает проецирующее положение, то прямая, перпендикулярная ей, является линией уровня (М4-3).

Т.к. S || П₂, то n ^ S - фронталь Þ n₂ ^ S₂; n₁ ^ линии связи.

Построить h,f Ì S (задача №27)

Решающее положение для определения расстояния между точкой и плоскостью.

Построить n₁ ^ h₁, n₂ ^ f₂

|МК| = М₂К₂ - натуральная величина расстояния от точки до плоскости.

Задача №91

Построить все множество точек, одинаково удаленных от точек А и В.

Все множество точек, равноудаленных от двух точек (А и В), это плоскость, например, S (DMND), проведенная через середину (точка С Þ АС = СВ) расстояния между ними, S ^ АВ

Соединим точки А и В, разделим пополам графически (циркулем).

Построим через точку С плоскость S(h Ç f), h₁ ^ А₁В₁, f₂ ^ A₂B₂.

Задача №92

Определить расстояние от точки В до прямой а.

В этой задаче нужно построить перпендикуляр к прямой общего положения. (М4 - 4. Взаимная перпендикулярность двух прямых общего положения).

Этапы решения:

1) Из точки В построить S(h Ç f) ^ а (задание №91);

2) Найти точку пересечения а Ç S Þ К (первая ГПЗ по 3 алгоритму) (задание №89);

3) а - прямая общего положения, следовательно, n (ВК) - прямая общего (М4-4) положения. Методом прямоугольного треугольника найти |ВК| (задания №82,85,86)

Построим плоскость S(h Ç f) ^ а, причем h₁ ^ а₁; f₂ ^a₂.

Решить задачу:

S Ç а = К Þ 1 ГПЗ, 3 алгоритм, см. задачу № 89.

ВК - отрезок общего положения. |ВК| = В₁К₀ - натуральная величина.

Задача №93

Через прямую m провести плоскость Г, перпендикулярную заданной плоскости S.

Известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если в одной из них лежит прямая, перпендикулярная другой плоскости. Таким образом, построение взаимно перпендикулярных плоскостей общего положения сводится к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости (М4-5).

В плоскости S построить в любом месте фронталь и горизонталь - h,f Ì (а Ç в)

Построить Г ^ S, Г = m Ç n = K. Через точку К провести n ^ S Þ n₁ ^ h₁, n₂ ^ f₂.

Задача №95

Построить конус вращения, если S - его вершина, а точка М принадлежит основанию, расположенному в плоскости S.

Чтобы решить задачу, сначала нужно построить ось вращения конуса i(i₁i₂) перпендикулярно основанию. Но основание принадлежит S, значит i ^ S, но S ^^ П₁, то ось i - прямая уровня (См. задание №90), в данном случае - горизонталь. Следовательно i₁ ^ S₁; i₂ ^ линиям связи Þ О₁ и О₂.

Провести i ^S Þ точка О. Полученное графическое решение соответствует графическому условию задачи №25, поэтому подробности дальнейшего решения не приводятся.