Сумма квадратов значений фактической ошибки модели должна быть минимальной

Иными словами, найденные с помощью МНК оценки a ₀, a ₁,..., a_n, обеспечивают минимум следующей квадратичной формы на множестве всех других комбинаций значений таких оценок:

где e_t – значение фактической ошибки модели в момент t =1,2,..., Т, полученное после подстановки в выражение (1.2) вместо неизвестных истинных значений параметров a ₀, a ₁,..., a_n их оценок a ₀, a ₁,..., a_n.

Оптимальные по данному критерию значения оценок в этом случае могут быть найдены путем решения следующей системы так называемых “нормальных” уравнений, вытекающей из условия равенства нулю частных производных функции s ²(a ₀, a ₁,..., a_n) по своим параметрам в точке минимума:

В системе (2.3) неизвестными являются оценки параметров a ₀, a ₁,..., a_n, а ее известные коэффициенты сформированы на основе исходных данных и представлены в виде следующих сумм: i, j =1,2,..., п. Решения, получаемые на основе развернутой формы системы (2.3), достаточно громоздки, и поэтому в дальнейшем в математических выкладках общего характера будем использовать векторно-матричную форму представления ее составляющих.

Векторно-матричная форма записи линейной эконометрической модели (1.2) имеет следующий вид:

у = Х × a + e, (2.4)

где у – вектор-столбец, состоящий из Т компонент; Х – матрица размера Т ´(п +1) (если в модели присутствует “свободный” коэффициент a ₀); a =(a ₀, a ₁,..., a_n)¢– вектор-столбец параметров, состоящий из п +1-й компоненты; e – вектор-стобец ошибки модели, состоящий, как и вектор у, из Т компонент.

Соответственно векторно-матричный вариант модели, в котором вместо неизвестных истинных коэффициентов a и ошибок e используются их оценки, т. е. вектора а и е, запишем в следующем виде:

у = Х × а + е, (2.5)

где а =(а ₀, а ₁,..., а_n)¢, е =(е ₁, е ₂,..., е_Т)¢– вектора значений оценок коэффициентов линейной эконометрической модели и значений ее фактической ошибки соответственно.

Сумму квадратов значений ошибки s ² можем представить в виде скалярного произведения вектора-строки е ¢ на вектор-столбец е. Проводя несложные преобразования с учетом правил произведения векторов и матриц, получим следующий результат:

s ² =(е ¢, е)=(у – Х × a)¢(у – Х × a)= у ¢ у – a ¢ Х ¢ у – у ¢ Хa + a ¢ Х ¢ Хa =

= у ¢ у –2 a ¢ Х ¢ у + a ¢ Х ¢ Хa. (2.6)

При проведении преобразований учитывалось правило транспонирования векторно-матричного произведения (z × W)¢=(W ¢ × z ¢).

Условие (2.3) в векторной форме записи приобретает следующий вид:

¶ s ²/¶ a = 0. (2.7)

Заметим, что в выражении (2.7) операция дифференцирования осуществляется по вектору.

С учетом выражения (2.6) уравнение (2.7) приводится к следующему виду:

¶ s ²/¶ a =¶(у ¢ у –2 a ¢ Х ¢ у + a ¢ Х ¢ Хa)/¶ a =–2 Х ¢ у +2 Х ¢ Хa = 0

или

Х ¢ Хa = Х ¢ у.

Откуда следует, что “оптимальный” вектор оценок параметров a определяется на основе следующего векторно-матричного выражения:

a =(Х ¢ Х)^–1× Х ¢ у. (2.8)

Все переменные в правой части выражения (2.8) являются известными – это исходные данные, сведенные в матрицу Х и вектор у.