Средняя длина пролета

В некоторых исследованиях необхо­димо знать среднюю длину пробега, или среднюю длину пути при прохождении животным некоторого фиксированного участка. При­ведем соответствующий расчет для птиц. Пусть участком будет круг радиуса . Будем считать, что не слишком велико, так что большинство птиц изучаемого вида пересекает этот круг по прямой.

Птица может под любым углом в любой точке пересечь окруж­ность. В зависимости от этого длина ее пролета над кругом может быть равной любой величине от до . Нас интересует средняя длина пролета. Обозначим ее через .

Так как круг симметричен относительно любого своего диамет­ра, нам достаточно ограничиться лишь теми птицами, которые ле­тят в каком-нибудь одном направлении, параллельном оси . Тогда средняя длина пролета — это среднее расстоя­ние между дугами и . Иными словами, это среднее зна­чение функции , где — уравнение верхней дуги, а у — уравнение нижней дуги, т. е.

или .

Так как равен площади криволинейной трапеции , а равен площади криволинейной трапеции , то их разность равна площади круга, т. е. . Разность равна, очевидно, . Подставив это в , получим:

.

Приведенные примеры далеко не исчерпывают возможных приложений определенного интеграла в биологии.