Лема (про різницю векторів)

Доведення. На перший погляд може здатися, що нема чого доводити, але це — тільки на перший погляд. Дійсно, ліва частина формули — це результат операції, визначеної певним чином відповідним означенням. Права частина визначена означеннями операції множення вектора на число і операції додавання векторів. Отже, для доведення формули, треба взяти її праву частину , додати до неї вектор і пересвідчитись, що в результаті буде отримано вектор . Останнє довести самостійно, користуючись означеннями операцій множення вектора на число і додавання векторів.

З означення різниці векторів і з формули випливає геометричне правило побудови різниці двох векторів: суміщаємо (за допомогою паралельного переносу одного з векторів) початки векторів і ; з’єднуємо кінці векторів і відрізком прямої; перетворюємо відрізок у вектор з напрямком від кінця вектора до кінця вектора ; побудований вектор і є різницею векторів і .

3.2.4. Поняття лінійної комбінації векторів.

У формулюванні властивості асоціативності операції додавання векторів “задіяно” три вектори. Можна уявити ситуацію, коли результуючий вектор визначається будь-якою скінченною сукупністю “твірних” векторів (за приклад можна взяти знаходження результуючої сили у фізиці); при цьому вектори, що беруть участь у такій багатомісній операцій, можуть бути помножені на будь-які дійсні числа. Таким чином виникає поняття лінійної комбінації векторів:

Означення (лінійної комбінації векторів). Нехай задана будь-яка скінченна сукупність векторів

і така сама за кількістю сукупність дійсних чисел

.

Лінійною комбінацією вказаних векторів називається вираз

.

Зауваження. В означенні лінійної комбінації векторів залишився один невизначений момент, а саме: яким має бути порядок виконання операцій додавання? Відповідь: яким завгодно. Це випливає з властивості асоціативності операції додавання векторів (зрозуміло, що спочатку, у будь-якому порядку, ми множимо вектори на відповідні числа, а потім, у будь-якому порядку, сумуємо отримані вектори).