Відстань між двома точками. Рівняння кола та сфери

Формула відстані між двома точками, заданими своїми координатами, безпосередньо випливає з теореми Піфагора: квадрат довжини гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів довжин його катетів:

Нехай маємо дві точки на координатній площині:

Сполучивши точки і та провівши горизонтальну пряму через точку і вертикальну пряму через точку , отримаємо прямокутний трикутник . Довжина гіпотенузи цього трикутника — це відстань між точками і . Довжина катета дорівнює ; довжина катета дорівнює . Позначимо через відстань між точками і . З теореми Піфагора маємо:

,

звідки випливає формула

Ця формула дозволяє “перекласти” на аналітичну мову означення кола і сфери. Коло — це геометричне місце точок площини, що розташовані на деякій фіксованій відстані (яка називається радіусом), від деякої фіксованої точки (яка називається центром). Нехай заданий радіус дорівнює , центром кола є точка , а “біжучою” точкою кола є .

Тоді, з використанням формули відстані між двома точками, означення кола перейде у рівняння:

.

Аналогічні формули мають місце для тривимірного простору. А саме, якщо та — задані просторові точки, то відстань між ними обчислюється за формулою:

.

Для виведення цієї формули замість прямокутного трикутника треба розглядати прямокутний паралелепіпед та його діагональ.

Якщо в означенні кола замінити слово площини на слово простору, — ми отримаємо означення сфери та її рівняння:

.