Оценки как случайные величины

Получаемая оценка представляет частный случай случайной переменной. Причина здесь в том, что сочетание значений в выборке случайно, поскольку – случайная переменная и, следовательно, случайной величиной является и функция набора ее значений. Возьмем, например, – оценку математического ожидания:

.

Выше мы показали, что величина в -м наблюдении может быть разложена на две составляющие: постоянную часть и чисто случайную составляющую :

. (A.17)

Следовательно,

, (A.18)

где – выборочное среднее величин .

Отсюда можно видеть, что , подобно , имеет как фиксированную, так и чисто случайную составляющие. Ее фиксированная составляющая – , то есть математическое ожидание , а ее случайная составляющая – , то есть среднее значение чисто случайной составляющей в выборке.

Функции плотности вероятности для и показаны на одинаковых графиках (рис. A.6). Как показано на рисунке, величина считается нормально распределенной. Можно видеть, что распределения, как , так и , симметричны относительно – теоретического среднего. Разница между ними в том, что распределение уже и выше. Величина , вероятно, должна быть ближе к , чем значение единичного наблюдения , поскольку ее случайная составляющая есть среднее от чисто случайных составляющих в выборке, которые, по-видимому, «гасят» друг друга при расчете среднего. Далее теоретическая дисперсия величины составляет лишь часть теоретической дисперсии .

Рис. A.6.

Величина – оценка теоретической дисперсии – также является случайной переменной. Вычитая (A.18) из (A.17), имеем:

.

Следовательно,

.

Таким образом, зависит от (и только от) чисто случайной составляющей наблюдений в выборке. Поскольку эти составляющие меняются от выборки к выборке, также от выборки к выборке меняется и величина оценки .