Вращение вокруг осей, перпендикулярных плоскостям проекций

Вращение вокруг осей, перпендикулярных плоскостям проекций, является частным случаем плоскопараллельного перемещения; все точки геометрической фигуры перемещаются в пространстве также в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, но не по произвольной траектории, а по окружностям.

Сущность способа заключается в том, что проецируемую фигуру путем поворота ее вокруг выбранной оси приводят относительно плоскостей проекций в новое положение, при котором легко получить решение задачи.

Все точки геометрической фигуры, не лежащие на оси вращения, вращаются в плоскостях, перпендикулярных оси вращения (рис. 10.9): Σ ^ i; A Î Σ. Центр О окружности m, которую описывает точка А, является точкой пересечения оси i с плоскостью Σ; O = i ∩ Σ. Отрезок АО является радиусом R окружности m.

Рис. 10.9

Рассмотрим, как изменяется положение проекций точки при вращении ее вокруг оси, перпендикулярной к плоскости П₁ (рис. 10.10).

Рис. 10.10

При вращении точки М вокруг оси i ^ П₁ (центр вращения О, радиус вращения ОМ^ i) на угол a, ее горизонтальная проекция М₁ перемещается по окружности (с центром в точке О₁ @ i₁) того же радиуса, в ту же сторону и на тот же угол a, что и сама точка М. Траектория движения точки М в пространстве на плоскость П₁ проецируется без искажения, т.к. она принадлежит плоскости Σ, параллельной П₁. Фронтальная проекция точки М (М₂) перемещается по прямой, параллельной оси ОХ.

Вращение геометрических фигур сводится к вращению конечного числа точек, определяющих данную фигуру. При этом полезно иметь в виду следующее:

а) точки, лежащие на оси вращения, не меняют своего положения, остальные точки вращаются в плоскостях, перпендикулярных оси вращения;

б) все вращающиеся точки поворачиваются в одну сторону на один и тот же угол;

в) если ось перпендикулярна некоторой плоскости проекций, то проекции на эту плоскость вращающейся фигуры в любом ее положении конгруэнтны. Последнее вытекает из рассмотренных свойств метода плоскопараллельного перемещения, т.к. вращение вокруг осей, перпендикулярных к плоскостям проекций представляет собой частный случай этого метода.

Рассмотрим, как осуществляется на эпюре перемещение отрезка общего положения в частное положение путем вращения вокруг оси перпендикулярной плоскостям проекций.

Пример 1. Отрезок АВ общего положения преобразовать в положение параллельное плоскости проекций П₂.

Чтобы осуществить такое преобразование, достаточно повернуть отрезок АВ вокруг оси i ^ П₁ на угол a. Для сокращения количества геометрических построений ось i ∋ В (рис. 10.11).

Рис. 10.11

Величина угла a принимается такой, чтобы после поворота горизонтальная проекция отрезка заняла положение || ОХ. Так как точка В принадлежит оси вращения, то она не будет менять своего положения в процессе преобразования, следовательно, В₁ º В₁^// и В₂ º В₂^//. Для нахождения точки А₂^/ необходимо из А₁^// провести вертикальную линию связи и отметить точку пересечения ее в горизонтальной прямой, проведенной через А₂.