Збіжність рядів|лав,низок| з|із| додатними членами

Нехай|нехай| заданий ряд|лава,низка|

(1)

має|із| додатні члени (). За допомогою наступних|таких| достатніх ознак можна відповісти на питання, збігається він або розбігається.

Ознака порівняння 1. Нехай|нехай| дані ряди|лави,низки| (1) і

(2)

з|із| додатними членами, причому для всіх достатньо|досить| великих виконується умова .

Тоді: із|із| збіжності ряду|лави,низки| (2) випливає збіжність ряду|лави,низки| (1);

з|із| розбіжності | ряду|лави,низки| (1) випливає розбіжність| ряду|лави,низки| (2).

Порівняння досліджуваних рядів|лав,низок| здійснюється частіше з |справляється,проводиться| |рядами|лавами,низками|:

, (геометрична прогресія, яка збігається при і розбігається при ),

(розбіжний гармонічний ряд|лава,низка|)

(узагальнений гармонічний ряд|лава,низка|, що збігається при і розбігається при ).

Ознака порівняння 2. Якщо існує кінцева|скінченний| і відмінна|інша| від нуля границя , то обидва ряди|лави,низки| або одночасно збігаються, або одночасно розбігаються. Якщо ж , то із|із| збіжності ряду|лави,низки| (2) слідує збіжність ряду|лави,низки| (1).

Ознака Даламбера. Якщо існує границя , то при ряд|лава,низка| (1) збігається, а при -| розбігається (при ряд|лава,низка| може збігатися або розбігатися – в цьому випадку питання про збіжність ряду|лави,низки| залишається відкритим|відчиненим|).

Ознака Коші (радикальна). Якщо існує границя , то при ряд|лава,низка| (1) збігається, а при -| розбігається (при ряд|лава,низка| може збігатися або розбігатися).|лави,низки| |відчинен| |лави,низ

Помітимо|відмітимо|, що ознака Коші сильніше за ознаку Даламбера, оскільки|тому що| границя може існувати, а границя - ні. Якщо ж границя існує, то існує і границя , причому обидві ці границі виявляються|опиняються| рівними.

Тому якщо застосування|вживання| однієї з граничних ознак (Даламбера і Коші) не дає відповіді про збіжність ряду|лави,низки| (одна з границь, або рівна одиниці), то застосування|вживання| іншої ознаки також марно.

Інтегральна ознака Коші. Хай|нехай| загальний|спільний| член ряду|лави,низки| (1) . Якщо функція , що приймає в точках значення , монотонно cпадає в деякому проміжку , де , то ряд|лава,низка| (1) і невласний інтеграл збігаються або розбігаються одночасно.

3.1.3. Збіжність знакозмінних рядів|лав,низок|

Ряд|лава,низка| (1)

з|із| членами довільних знаків називається знакозмінним.

Якщо знакозмінний ряд|лава,низка| містить|утримує| кінцеве|скінченне| число від'ємних |заперечних| (додатних) членів, то його дослідження на збіжність зводиться до дослідження ряду з членами одного знаку|лави,низки|, оскільки|тому що| відкидання від ряду|лави,низки| скінченого|скінченного| числа членів (зокрема до членів одного знаку) не порушить його збіжності або розбіжності |.

Ряд|лава,низка| (1) називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд|лава,низка|

(2)

складений з|із| модулів членів даного ряду|лави,низки|. Всякий|усякий| абсолютно збіжний ряд|лава,низка| є|з'являється,являється| збіжним, тобто із|із| збіжності ряду|лави,низки| (2) завжди слідує|прямує| збіжність ряду|лави,низки| (1).

Ряд|лава,низка| (1) називається умовно збіжним, якщо він збігається, а ряд|лава,низка| (2), складений з|із| модулів його членів, розбігається.

Досліджувати на збіжність знакозмінний ряд|лава,низка| - значить|означає| не тільки|не лише| відповісти на питання, збігається він або розбігається, але і як збігається: абсолютно або умовно.

Серед знакозмінних рядів|лав,низок| особливо виділяють клас знакопереміжних рядів|лав,низок|. Ряд|лава,низка|

, (3)

у якому всі , , – числа одного знаку, називається знакопереміжним.

Для знакопереміжних рядів|лав,низок| справедлива наступна|така| достатня ознака збіжності.

Ознака Лейбніця |. Якщо члени знакопереміжного ряду|лави,низки| (3), починаючи|розпочинаючи,зачинаючи| з|із| деякого, монотонно спадають за абсолютною величиною, і якщо , то ряд|лава,низка| (3) збігається.

3.1.4. Функціональні ряди|лави,низки|