Векторная алгебра 3 страница

Од­на­ко из по­лу­чен­ных серий ре­ше­ний сле­ду­ет ис­клю­чить числа вида

Таким об­ра­зом, ре­ше­ния за­дан­но­го урав­не­ния – числа вида за ис­клю­че­ни­ем чисел вида где

б) Вы­бор­ку кор­ней будем осу­ществ­лять путем пе­ре­бо­ра целых зна­че­ний

Из серии кор­ней от­лич­ных от Чтобы найти наи­мень­ший ис­ко­мый ко­рень из этой серии решим не­ра­вен­ство в целых чис­лах. По­лу­чим: От­сю­да ясно, что ис­ко­мый наи­мень­ший ко­рень вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле при Далее, каж­дый сле­ду­ю­щий ко­рень по­лу­чим путем при­бав­ле­ния к нему числа Ре­зуль­та­ты будем за­но­сить в таб­ли­цу. По­сто­рон­ние корни по ходу будем от­се­и­вать, учи­ты­вая усло­вие

Ана­ло­гич­но най­дем корни из серии от­лич­ные от

Таким об­ра­зом, мы нашли 42 корня, при­над­ле­жа­щие за­дан­но­му от­рез­ку.

За­ме­ча­ние.

За­пись мно­же­ства кор­ней за­дан­но­го урав­не­ния может вы­гля­деть так:

Ответ: а) за ис­клю­че­ни­ем чисел вида где б) всего 42 корня (см. таб­ли­цу).

51. C 2 № 505174. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC бо­ко­вое ребро равно 3, а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 2. Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A до плос­ко­сти SBC.

Ре­ше­ние.

Пусть SO – вы­со­та пи­ра­ми­ды. Тогда

Пусть V – объём пи­ра­ми­ды, тогда

С дру­гой сто­ро­ны, где h – ис­ко­мое рас­сто­я­ние.

В тре­уголь­ни­ке SBC вы­со­та SM равна

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка SBC равна По­лу­ча­ем, что

Ответ:

52. C 2 № 504416. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC бо­ко­вое ребро SA = 5, а сто­ро­на ос­но­ва­ния AB = 4. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через ребро AB пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру SC.

Ре­ше­ние.

В тре­уголь­ни­ке BCS про­ведём вы­со­ту BK, тогда ис­ко­мое се­че­ние — тре­уголь­ник ABK. Пусть Q — пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABK. Се­че­ние из усло­вия раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду на тет­ра­эд­ры CAKB и SAKB. Их сум­мар­ный объём

равен объёму пи­ра­ми­ды.

Пусть — SO вы­со­та пи­ра­ми­ды. В тре­уголь­ни­ке SCO имеем:

Объём пи­ра­ми­ды SABC равен

При­рав­ни­вая два най­ден­ных зна­че­ния для объёма, по­лу­ча­ем

Ответ: .

53. C 2 № 501945. В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де с вер­ши­ной сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны а бо­ко­вые рёбра равны Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку и се­ре­ди­ну ребра па­рал­лель­но пря­мой

Ре­ше­ние.

Пусть точка — се­ре­ди­на ребра От­ре­зок пе­ре­се­ка­ет плос­кость в точке В тре­уголь­ни­ке точка яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан, сле­до­ва­тель­но, где — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. От­ре­зок па­рал­ле­лен и про­хо­дит через точку (точка при­над­ле­жит ребру — ребру ), от­ку­да

Четырёхуголь­ник — ис­ко­мое се­че­ние. От­ре­зок — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка зна­чит,

По­сколь­ку пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти диа­го­на­ли и четырёхуголь­ни­ка пер­пен­ди­ку­ляр­ны, сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

54. C 2 № 501416. Длины ребер BC, BB ₁ и BA пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ равны со­от­вет­ствен­но 8, 12 и 9. Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны D ₁ до пря­мой A ₁C.

Ре­ше­ние.

Опу­стим из точки пер­пен­ди­ку­ляр на пря­мую Так как то а, зна­чит, от­ре­зок ― вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка от­ку­да Далее на­хо­дим:

Ответ:

55. C 2 № 484559. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де с ос­но­ва­ни­ем из­вест­ны ребра Най­ди­те угол, об­ра­зо­ван­ный плос­ко­стью ос­но­ва­ния и пря­мой, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны ребер и

Ре­ше­ние.

Пусть и — се­ре­ди­ны ребер и со­от­вет­ствен­но. — ме­ди­а­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка сле­до­ва­тель­но, на­хо­дит­ся по фор­му­ле Пря­мая про­еци­ру­ет­ся на плос­кость ос­но­ва­ния и пря­мую По­это­му про­ек­ция точки — точка — лежит на от­рез­ке Зна­чит, пря­мая яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей пря­мой сле­до­ва­тель­но, угол — ис­ко­мый.

где — центр ос­но­ва­ния, зна­чит, — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка по­это­му Тогда и Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Зна­чит, ис­ко­мый угол равен

Ответ:

56. C 2 № 500408. Точка — се­ре­ди­на ребра куба Най­ди­те угол между пря­мы­ми и

Ре­ше­ние.

При­мем ребро куба за Тогда Про­ведём через точку пря­мую, па­рал­лель­ную Она пе­ре­се­ка­ет про­дол­же­ние ребра в точке причём Ис­ко­мый угол равен углу (или смеж­но­му с ним).

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке с пря­мым углом

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке с пря­мым углом

В тре­уголь­ни­ке по тео­ре­ме ко­си­ну­сов

от­ку­да а тогда

Ответ: .

При­ме­ча­ние.

Ответ может быть пред­став­лен и в дру­гом виде:

57. C 2 № 501985. В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де MABCD с вер­ши­ной M сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 6, а бо­ко­вые рёбра равны 12. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку C и се­ре­ди­ну ребра MA па­рал­лель­но пря­мой BD.

Ре­ше­ние.

Пусть точка — се­ре­ди­на ребра От­ре­зок пе­ре­се­ка­ет плос­кость в точке В тре­уголь­ни­ке точка яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан, сле­до­ва­тель­но, где — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. От­ре­зок па­рал­ле­лен и про­хо­дит через точку (точка при­над­ле­жит ребру —ребру ), от­ку­да

Четырёхуголь­ник — ис­ко­мое се­че­ние. От­ре­зок — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка зна­чит,

По­сколь­ку пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти диа­го­на­ли и четырёхуголь­ни­ка пер­пен­ди­ку­ляр­ны, сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 24.

58. C 2 № 500816. Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы равна , а диа­го­наль бо­ко­вой грани равна Най­ди­те угол между плос­ко­стью и плос­ко­стью ос­но­ва­ния приз­мы.

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим се­ре­ди­ну ребра Так как тре­уголь­ник рав­но­сто­рон­ний, а тре­уголь­ник — рав­но­бед­рен­ный, от­рез­ки и пер­пен­ди­ку­ляр­ны Сле­до­ва­тель­но, — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла с гра­ня­ми и Из тре­уголь­ни­ка най­дем Из тре­уголь­ни­ка най­дем

Из тре­уголь­ни­ка най­дем:

Ис­ко­мый угол равен

Ответ:

59. C 2 № 484576. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 4, а бо­ко­вые ребра равны 3, най­ди­те рас­сто­я­ние от точки В до пря­мой .

Ре­ше­ние.

Так как ABCDEF пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник, то пря­мые BE и CD па­рал­лель­ны, па­рал­лель­ны также пря­мые и , сле­до­ва­тель­но, пря­мые и па­рал­лель­ны. Рас­сто­я­ние от точки B до пря­мой , равно рас­сто­я­нию между пря­мы­ми и .

В тра­пе­ции :

, , , ,

тогда

.

Ответ: .

60. C 2 № 505237. Ко­си­нус угла между бо­ко­вой гра­нью и ос­но­ва­ни­ем пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равен Най­ди­те угол между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми этой пи­ра­ми­ды.

Ре­ше­ние.

Пусть — дан­ная пи­ра­ми­да с вер­ши­ной — ее вы­со­та, — се­ре­ди­на , — вы­со­та тре­уголь­ни­ка Угол — угол между бо­ко­вой гра­нью пи­ра­ми­ды и ос­но­ва­ни­ем.

Пусть тогда

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка двумя спо­со­ба­ми: Зна­чит,

Ребро пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти по­это­му и пер­пен­ди­ку­ляр­ны, сле­до­ва­тель­но, плос­кость пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру Ис­ко­мый угол между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми равен углу при вер­ши­не рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка

Ответ: