Министерство сельского хозяйства

http://www.webeconomy.ru/index.php?page=cat&newsid=2141&type=news

Требования по оформлению реферата по дисциплине «Экономическая теория»

^{(распечатать и приложить к реферату)}

1. Минимальный объем реферата – 20-25 страниц.

2. При наборе реферата в текстовом редакторе необходимо устанавливать следующие размеры полей: левое – 30 мм, правое – 10 мм, верхнее – 20 мм, нижнее – 20 мм.

Текст набирается шрифтом Times New Roman, размер (кегль) – 14 пт, стиль (начертание) – обычный.

Параметры абзаца при наборе текста: выравнивание по ширине, красная (первая) строка (отступ) – 1,25 см; междустрочный интервал – 1,5.

3. Страницы документа следует нумеровать арабскими цифрами (например, 1, 2, 3 и т.д.), соблюдая сквозную нумерацию по всему тексту, включая приложения (при их наличии). Номер страницы проставляется по центру в нижней части листа. Титульный лист включается в общую нумерацию страниц документа, но номер страницы на титульном листе не проставляется.

4. Для пояснения излагаемого текста в реферате желательно использовать иллюстрации. Иллюстративный материал должен способствовать раскрытию темы и отдельных положений реферата.

Под иллюстрацией понимают графики, схемы, рисунки, диаграммы.

Иллюстрации располагаются либо по тексту документа, возможно ближе к соответствующим частям, либо в конце реферата в приложениях (если иллюстрация занимает бо̀льшую часть страницы).

Иллюстрации следует нумеровать сквозной нумерацией арабскими цифрами и обозначать – Рис. 1, Рис. 2 и т. д.

Пример оформления иллюстрации в тексте реферата представлен в файле «Примеры оформления рисунка и таблицы».

5. Статистический и цифровой материал оформляют в виде таблиц. Таблицы применяют для наглядности и удобства представления статистического материала, для сравнения временных, межстрановых или межрегиональных показателей.

Слово «Таблица» выравнивается по правому краю таблицы. Затем следует номер таблицы. Таблицы нумеруются арабскими цифрами сквозной нумерацией.

Наименование таблицы помещается по центру над таблицей.

Пример оформления таблицы в тексте реферата представлен в файле «Примеры оформления рисунка и таблицы».

6. Титульный лист реферата оформляется в соответствии с образцом, приведенным в файле «Образец оформления титульного листа».

7. Содержание должно отражать все элементы, включаемые в состав реферата. Как правило, содержание включает введение, наименования всех глав, пунктов, заключение и список источников с указанием номеров страниц, с которых начинаются эти элементы документа. Пример оформления содержания реферата приведен в файле «Пример оформления содержания».

8. Во введении обосновывается актуальность темы и ее практическая значимость, раскрывается структура работы и ее основное содержание, указываются цель и задачи исследования.

9. В заключении обобщаются результаты исследования, делаются выводы и выдвигаются рекомендации. В заключении необходимо отметить не только положительные результаты, но и указать выявленные в процессе исследования проблемы и недостатки, а также сформулировать конкретные предложения по их устранению.

10. Список источников должен включать все источники, которые использовались при написании реферата.

Список источников реферата должен содержать не менее 10 источников, при этом не менее 7 источников должны быть новыми, то есть изданными в период с 2007 года по 2013 год.

Источники в Списке источников необходимо располагать либо по алфавиту, либо в порядке упоминания в тексте работы.

В качестве источников могут быть использованы: нормативно-правовые акты, учебники, учебные пособия, статьи, монографии, диссертации, интернет-публикации и проч.

Пример оформления списка источников (учебник, статья, интернет-публикация).

Учебник: Борисов, Е. Ф. Экономическая теория: учебник для вузов / Е. Ф. Борисов. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшее образование, 2008. – (Основы наук). – 391 с.

Статья: Щесняк, К. Е. Финансовая устойчивость российских предприятий в период экономического кризиса // Экономическое возрождение России. – 2011. – № 1. – С. 32-41.

Интернет-публикация: 14 самых забавных налогов в США. Режим доступа: http://finance.rambler.ru/news/taxes/123363630.html

11. Заимствование текста необходимо сопровождать внутритекстовыми ссылками после соответствующей цитаты. Ссылка помещается в квадратные скобки. В скобках указываются номер источника по списку источников и номер страницы, на которой размещена заимствованная цитата.

Например, «Именно экономические интересы людей выступают движущей силой социально-экономического прогресса» [11, с. 45].

Пример оформления списка источников и внутритекстовых ссылок приведен в файле «Пример оформления ссылок и списка источников»

Студент группы с вышеуказанными требованиями ознакомлен.

^{(Ф.И.О., например: Иванов И.И.) (например, ТМбд-11)}

B 6 № 286233.

Перед на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по шаш­кам участ­ни­ков раз­би­ва­ют на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те участ­ву­ет 36 ша­ши­стов, среди ко­то­рых 15 участ­ни­ков из Рос­сии, в том числе Ев­ге­ний Ко­ро­тов. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Ев­ге­ний Ко­ро­тов будет иг­рать с каким-либо ша­ши­стом из Рос­сии?

Ре­ше­ние.

В пер­вом туре Ев­ге­ний Ко­ро­тов может сыг­рать с ша­ши­ста­ми, из ко­то­рых 14 — из Рос­сии. Зна­чит ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Ев­ге­ний Ко­ро­тов будет иг­рать с каким-либо ша­ши­стом из Рос­сии, равна

Ответ: 0,4.

Ответ: 0,4

0,4

2. B 6 № 505397. Перед на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по на­столь­но­му тен­ни­су участ­ни­ков раз­би­ва­ют на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те участ­ву­ет 16 спортс­ме­нов, среди ко­то­рых 7 участ­ни­ков из Рос­сии, в том числе Пла­тон Кар­пов. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Пла­тон Кар­пов будет иг­рать с каким-либо спортс­ме­ном из Рос­сии?

Ре­ше­ние.

В пер­вом туре Пла­тон Кар­пов может сыг­рать с 16 − 1 = 15 тен­ни­си­ста­ми, из ко­то­рых 7 − 1 = 6 из Рос­сии. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Пла­тон Кар­пов будет иг­рать с каким-либо тен­ни­си­стом из Рос­сии, равна

Ответ: 0,4.

Ответ: 0,4

0,4

B 6 № 315953.

В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те сим­мет­рич­ную мо­не­ту бро­са­ют че­ты­ре­жды. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что решка вы­па­дет ровно два раза.

Ре­ше­ние.

Рав­но­воз­мож­ны 2⁴ = 16 ис­хо­дов экс­пе­ри­мен­та: орёл-орёл-орёл-орёл, орёл-орёл-орёл-решка, орёл-орёл-решка-орёл, орёл-решка-орёл-орёл, решка-орёл-орёл-орёл, решка-решка-орёл-орёл, решка-орёл-орёл-решка, орёл-орёл-решка-решка, орёл-решка-орёл-решка, решка-орёл-решка-орёл, орёл-решка-решка-орёл, решка-решка-решка-орёл, решка-решка-орёл-решка, решка-орёл-решка-решка, орёл-решка-решка-решка, решка-решка-решка-решка

Решка вы­па­да­ет ровно два раз в шести слу­ча­ях: орёл-орёл-решка-решка, решка-орёл-орёл-решка, решка-решка-орёл-орёл, решка-орёл-решка-орёл, орёл-решка-орёл-решка, орёл-решка-решка-орёл. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что орел вы­па­дет ровно 2 раза, равна

.

Ответ: 0,375.

Ответ: 0.375

0.375

4. B 6 № 320198. Ве­ро­ят­ность того, что на тесте по био­ло­гии уча­щий­ся О. верно решит боль­ше 11 задач, равна 0,67. Ве­ро­ят­ность того, что О. верно решит боль­ше 10 задач, равна 0,74. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим со­бы­тия A = «уча­щий­ся решит 11 задач» и В = «уча­щий­ся решит боль­ше 11 задач». Их сумма — со­бы­тие A + B = «уча­щий­ся решит боль­ше 10 задач». Со­бы­тия A и В не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, ис­поль­зуя дан­ные за­да­чи, по­лу­ча­ем: 0,74 = P(A) + 0,67, от­ку­да P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07.

Ответ: 0,07.

Ответ: 0,07

0,07

5. B 6 № 320169. Вася, Петя, Коля и Лёша бро­си­ли жре­бий — кому на­чи­нать игру. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на­чи­нать игру дол­жен будет Петя.

Ре­ше­ние.

Жре­бий на­чать игру может вы­пасть каж­до­му из че­ты­рех маль­чи­ков. Ве­ро­ят­ность того, что это будет имен­но Петя, равна одной чет­вер­той.

Ответ: 0,25.

Ответ: 0,25

0,25

B 6 № 283465.

В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те бро­са­ют две иг­раль­ные кости. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в сумме вы­па­дет 10 очков. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

Ре­ше­ние.

Ко­ли­че­ство ис­хо­дов, при ко­то­рых в ре­зуль­та­те брос­ка иг­раль­ных ко­стей вы­па­дет 10 очков, равно 3: 4+6, 5+5, 6+4. Каж­дый из ку­би­ков может вы­пасть ше­стью ва­ри­ан­та­ми, по­это­му общее число ис­хо­дов равно 6·6 = 36. Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность того, что в сумме вы­па­дет 10 очков, равна

Ответ: 0,08.

Ответ: 0,08

0,08

7. B 6 № 320170. В чем­пи­о­на­те мира участ­ву­ют 16 ко­манд. С по­мо­щью жре­бия их нужно раз­де­лить на че­ты­ре груп­пы по че­ты­ре ко­ман­ды в каж­дой. В ящике впе­ре­меш­ку лежат кар­точ­ки с но­ме­ра­ми групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Ка­пи­та­ны ко­манд тянут по одной кар­точ­ке. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­да Рос­сии ока­жет­ся во вто­рой груп­пе?

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­да Рос­сии ока­жет­ся во вто­рой груп­пе, равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства кар­то­чек с но­ме­ром 2, к об­ще­му числу кар­то­чек. Тем самым, она равна

Ответ: 0,25.

Ответ: 0,25

0,25

8. B 6 № 500998. В кар­ма­не у Пети было 2 мо­не­ты по 5 руб­лей и 4 мо­не­ты по 10 руб­лей. Петя, не глядя, пе­ре­ло­жил какие-то 3 мо­не­ты в дру­гой кар­ман. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что пя­ти­руб­ле­вые мо­не­ты лежат те­перь в раз­ных кар­ма­нах.

Ре­ше­ние.

Чтобы пя­ти­руб­ле­вые мо­не­ты ока­за­лись в раз­ных кар­ма­нах, Петя дол­жен взять из кар­ма­на одну пя­ти­руб­ле­вую и две де­ся­ти­руб­ле­вые мо­не­ты. Это можно сде­лать тремя спо­со­ба­ми: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Эти со­бы­тия не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий:

Дру­гое рас­суж­де­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что Петя взял пя­ти­руб­ле­вую мо­не­ту, затем де­ся­ти­руб­ле­вую, и затем еще одну де­ся­ти­руб­ле­вую (в ука­зан­ном по­ряд­ке) равна

По­сколь­ку Петя мог до­стать пя­ти­руб­ле­вую мо­не­ту не толь­ко пер­вой, но и вто­рой или тре­тьей, ве­ро­ят­ность до­стать набор из одной пя­ти­руб­ле­вой и двух де­ся­ти­руб­ле­вых монет в 3 раза боль­ше. Тем самым, она равна 0,6.

Ответ: 0,6.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ко­ли­че­ство спо­со­бов взять 3 мо­не­ты из 6, чтобы пе­ре­ло­жить их в дру­гой кар­ман, равно Ко­ли­че­ство спо­со­бов вы­брать 1 пя­ти­руб­ле­вую мо­не­ту из 2 пя­ти­руб­ле­вых монет и взять вме­сте с ней еще 2 де­ся­ти­руб­ле­вых мо­не­ты из име­ю­щих­ся 4 де­ся­ти­руб­ле­вых монет по пра­ви­лу про­из­ве­де­ния равно По­это­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность того, что пя­ти­руб­ле­вые мо­не­ты лежат в раз­ных кар­ма­нах, равна

Ответ: 0,6

0,6

9. B 6 № 500997. В клас­се учит­ся 21 че­ло­век. Среди них две по­дру­ги: Аня и Нина. Класс слу­чай­ным об­ра­зом делят на 7 групп, по 3 че­ло­ве­ка в каж­дой. Найти ве­ро­ят­ность того. что Аня и Нина ока­жут­ся в одной груп­пе.

Ре­ше­ние.

Пусть Аня ока­за­лась в не­ко­то­рой груп­пе. Тогда для 20 остав­ших­ся уча­щих­ся ока­зать­ся с ней в одной груп­пе есть две воз­мож­но­сти. Ве­ро­ят­ность этого со­бы­тия равна 2: 20 = 0,1.

При­ве­дем ком­би­на­тор­ное ре­ше­ние.

Всего спо­со­бов вы­брать 3 уча­щих­ся из 21 уча­ще­го­ся клас­са равно . Вы­брать пару «Аня и Нина» и по­ме­стить их в одну из семи групп можно спо­со­ба­ми. До­ба­вить в эту груп­пу еще од­но­го из остав­ших­ся 19 уча­щих­ся можно спо­со­ба­ми. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что де­воч­ки ока­жут­ся в одной груп­пе равна

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние.

Рас­смот­рим первую груп­пу. Ве­ро­ят­ность того, что Аня ока­жет­ся в ней, равна . Если Аня уже на­хо­дит­ся в пер­вой груп­пе, то ве­ро­ят­ность того, что Нина ока­жет­ся этой же груп­пе равна . По­сколь­ку все семь групп рав­но­прав­ны, ве­ро­ят­ность того, что по­дру­ги ока­жут­ся в одной груп­пе, равна

Ответ: 0,1.

Ответ: 0,1

0,1

10. B 6 № 320201. В ма­га­зи­не три про­дав­ца. Каж­дый из них занят с кли­ен­том с ве­ро­ят­но­стью 0,3. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­ный мо­мент вре­ме­ни все три про­дав­ца за­ня­ты од­но­вре­мен­но (счи­тай­те, что кли­ен­ты за­хо­дят не­за­ви­си­мо друг от друга).

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что все три про­дав­ца за­ня­ты равна

Ответ: 0,027.

Ответ: 0,027

0,027

11. B 9 № 7321. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле . Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой .

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку ка­са­тель­ная па­рал­лель­на пря­мой y = −6 или сов­па­да­ет с ней, их уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты равны 0. Уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент ка­са­тель­ной равен зна­че­нию про­из­вод­ной в точке ка­са­ния. Про­из­вод­ная равна нулю в точ­ках экс­тре­му­ма функ­ции. На за­дан­ном ин­тер­ва­ле функ­ция имеет 3 мак­си­му­ма и 4 ми­ни­му­ма, итого 7 экс­тре­му­мов. Таким об­ра­зом, ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y = −6 или сов­па­да­ет с ней в 7 точ­ках.

Ответ: 7.

Ответ: 7

B 9 № 121715.

Пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те c.

Ре­ше­ние.

Усло­вие ка­са­ния гра­фи­ка функ­ции и пря­мой задаётся си­сте­мой тре­бо­ва­ний:

В нашем слу­чае имеем:

Таким об­ра­зом, с = 23.

Ответ: 23.

Ответ: 23

13. B 9 № 505145. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фик функ­ции y = f (x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x ₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f (x) в точке x ₀.

Ре­ше­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (−3; 6), B (−3; 4), C (5; 4). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу, смеж­но­му с углом ACB:

.

Ответ: −0,25.

Ответ: -0,25

-0,25

14. B 9 № 27497. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 4). Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.

Ре­ше­ние.

Про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния дан­ной функ­ции f(x) со­от­вет­ству­ют про­ме­жут­кам, на ко­то­рых ее про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на, то есть ин­тер­ва­лам (−7; −5,5), (−2,5; 4). Дан­ные ин­тер­ва­лы со­дер­жат целые точки –6, –2, –1, 0, 1, 2, 3. Их сумма равна –3.

Ответ: –3.

Ответ: -3

-3

B 9 № 6041.

Пря­мая па­рал­лель­на ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те абс­цис­су точки ка­са­ния.

Ре­ше­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной. По­сколь­ку ка­са­тель­ная па­рал­лель­на пря­мой их уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты равны. По­это­му абс­цис­са точки ка­са­ния на­хо­дит­ся из урав­не­ния :

.

Ответ: −4.

Ответ: -4

-4

16. B 9 № 40129. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x). Пря­мая, про­хо­дя­щая через на­ча­ло ко­ор­ди­нат, ка­са­ет­ся гра­фи­ка этой функ­ции в точке с абс­цис­сой 8. Най­ди­те f' (8).

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку ка­са­тель­ная про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат, ее урав­не­ние имеет вид y = kx. Эта пря­мая про­хо­дит через точку (8; 10), по­это­му 10 = 8 · k, от­ку­да k = 1,25. По­сколь­ку уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент ка­са­тель­ной равен зна­че­нию про­из­вод­ной в точке ка­са­ния, по­лу­ча­ем: f' (8) = 1,25.

Ответ: 1,25.

Ответ: 1,25

1,25

B 9 № 122215.

Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну (где x —рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость (в м/с) в мо­мент вре­ме­ни t = 3 с.

Ре­ше­ние.

Най­дем закон из­ме­не­ния ско­ро­сти:

.

Тогда на­хо­дим:

м/с.

Ответ: 3.

Ответ: 3

18. B 9 № 7089.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y = f (x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−1; 13). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на.

Ре­ше­ние.

Про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на на тех ин­тер­ва­лах, на ко­то­рых функ­ция воз­рас­та­ет, т. е. на ин­тер­ва­лах (−1; 0), (1; 2) и (6,6; 10). В них со­дер­жат­ся целые точки 7, 8 и 9. Всего 3 точки.

Ответ: 3.

Ответ: 3

B 9 № 54801.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x). Пря­мая, про­хо­дя­щая через на­ча­ло ко­ор­ди­нат, ка­са­ет­ся гра­фи­ка этой функ­ции в точке с абс­цис­сой 10. Най­ди­те f' (10).

Ре­ше­ние.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной. По­сколь­ку ка­са­тель­ная про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат, ее урав­не­ние имеет вид y=kx. Пря­мая про­хо­дит через точку (10; −6), зна­чит, k =−0,6. По­сколь­ку уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент равен зна­че­нию про­из­вод­ной в точке ка­са­ния по­лу­ча­ем: f' (10)=−0,6.

Ответ: −0,6.

Ответ: -0,6

-0,6

20. B 9 № 323475. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции . Функ­ция — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции . Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры.

Ре­ше­ние.

Най­дем фор­му­лу, за­да­ю­щую функ­цию гра­фик ко­то­рой изоб­ражён на ри­сун­ке.

Сле­до­ва­тель­но, гра­фик функ­ции по­лу­чен сдви­гом гра­фи­ка функ­ции на еди­ниц впра­во вдоль оси абс­цисс. По­это­му ис­ко­мая пло­щадь фи­гу­ры равна пло­ща­ди фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции и от­рез­ком оси абс­цисс. Имеем:

Ответ: 6,75.

Ответ: 6,75

6,75

21. B 14 № 39213. Ве­ло­си­пе­дист вы­ехал с по­сто­ян­ной ско­ро­стью из го­ро­да А в город В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 180 км. На сле­ду­ю­щий день он от­пра­вил­ся об­рат­но в А со ско­ро­стью на 8 км/ч боль­ше преж­ней. По до­ро­ге он сде­лал оста­нов­ку на 8 часов. В ре­зуль­та­те ве­ло­си­пе­дист за­тра­тил на об­рат­ный путь столь­ко же вре­ме­ни, сколь­ко на путь из А в В. Най­ди­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч — ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из B в A, тогда ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из A в B равна км/ч. Сде­лав на об­рат­ном пути оста­нов­ку на 8 часов, ве­ло­си­пе­дист за­тра­тил на об­рат­ный путь столь­ко же вре­ме­ни, сколь­ко на путь из A в B, от­сю­да имеем:

Таким об­ра­зом, ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста была равна 18 км/ч.

Ответ: 18.

Ответ: 18

22. B 14 № 118555. Пер­вый насос на­пол­ня­ет бак за 19 минут, вто­рой — за 57 минут, а тре­тий — за 1 час 16 минут. За сколь­ко минут на­пол­нят бак три на­со­са, ра­бо­тая од­но­вре­мен­но?

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим объем бака за 1. Тогда три на­со­са, ра­бо­тая вме­сте, за­пол­нят бак за

минут.

Ответ: 12.

Ответ: 12

23. B 14 № 114647. Из пунк­та A кру­го­вой трас­сы вы­ехал ве­ло­си­пе­дист, а через 50 минут сле­дом за ним от­пра­вил­ся мо­то­цик­лист. Через 5 минут после от­прав­ле­ния он до­гнал ве­ло­си­пе­ди­ста в пер­вый раз, а еще через 30 минут после этого до­гнал его во вто­рой раз. Най­ди­те ско­рость мо­то­цик­ли­ста, если длина трас­сы равна 50 км. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

К мо­мен­ту пер­во­го об­го­на мо­то­цик­лист за 5 минут про­ехал столь­ко же, сколь­ко ве­ло­си­пе­дист за 55 минут, сле­до­ва­тель­но, его ско­рость в 11 раз боль­ше. По­это­му, если ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста при­нять за x км/час, то ско­рость мо­то­цик­ли­ста будет равна 11x, а ско­рость их сбли­же­ния — 10 x км/час.

C дру­гой сто­ро­ны, вто­рой раз мо­то­цик­лист до­гнал ве­ло­си­пе­ди­ста за 30 минут, за это время он про­ехал на 50 км боль­ше. Сле­до­ва­тель­но, ско­рость их сбли­же­ния со­став­лят 100 км/час.

Итак, 10 х = 100 км/час, от­ку­да ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста равна 10 км/час, а ско­рость мо­то­цик­ли­ста равна 110 км/час.

При­ме­ча­ние.

В усло­вии явно не ука­за­но, успе­ва­ет ли ве­ло­си­пе­дист про­ехать пол­ный круг до того как мо­то­цик­лист начнёт своё дви­же­ние или нет. Ра­зум­но пред­по­ло­жить, что ве­ло­си­пе­дист не успе­ва­ет про­ехать пол­ный круг, по­то­му что иначе его ско­рость долж­на со­став­лять 1 км/мин, или 60 км/час, что для ве­ло­си­пе­ди­ста труд­но­до­сти­жи­мо.

Ответ: 110

24. B 14 № 504259. Пер­вый и вто­рой на­со­сы на­пол­ня­ют бас­сейн за 10 минут, вто­рой и тре­тий — за 15 минут, а пер­вый и тре­тий — за 24 ми­ну­ты. За сколь­ко минут три эти на­со­са за­пол­нят бас­сейн, ра­бо­тая вме­сте?

Ре­ше­ние.

За одну ми­ну­ту пер­вый и вто­рой на­со­сы за­пол­нят 1/10 бас­сей­на, вто­рой и тре­тий — 1/15 бас­сей­на, а пер­вый и тре­тий — 1/24 бас­сей­на. Ра­бо­тая вме­сте, за одну ми­ну­ту два пер­вых, два вто­рых и два тре­тьих на­со­са за­пол­нят

бас­сей­на.

Тем самым, они могли бы за­пол­нить 5 бас­сей­нов за 24 ми­ну­ты. По­сколь­ку каж­дый из на­со­сов был учтен два раза, в ре­аль­но­сти пер­вый, вто­рой и тре­тий на­со­сы, ра­бо­тая вме­сте, могут за­пол­нить 5 бас­сей­нов за 48 минут. Зна­чит один бас­сейн они за­пол­нят за минут

Ответ: 9,6.

Ответ: 9,6

9,6

25. B 14 № 26597. Пер­вая труба про­пус­ка­ет на 1 литр воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет пер­вая труба, если ре­зер­ву­ар объ­е­мом 110 лит­ров она за­пол­ня­ет на 1 ми­ну­ту доль­ше, чем вто­рая труба?

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим — ко­ли­че­ство лит­ров воды, про­пус­ка­е­мой пер­вой тру­бой в ми­ну­ту, тогда вто­рая труба про­пус­ка­ет лит­ров воды в ми­ну­ту. Ре­зер­ву­ар объ­е­мом 110 лит­ров пер­вая труба за­пол­ня­ет на 1 ми­ну­ту доль­ше, чем вто­рая труба, от­сю­да имеем:

Таким об­ра­зом, пер­вая труба про­пус­ка­ет 10 лит­ров воды в ми­ну­ту.

Ответ: 10.

Ответ: 10

26. B 14 № 39695. Заказ на 380 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий вы­пол­ня­ет на 1 час быст­рее, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет пер­вый ра­бо­чий, если из­вест­но, что он за час де­ла­ет на 1 де­таль боль­ше?

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим — число де­та­лей, ко­то­рые из­го­тав­ли­ва­ет за час пер­вый ра­бо­чий, тогда вто­рой ра­бо­чий за час из­го­тав­ли­ва­ет де­та­лей, . На из­го­тов­ле­ние 380 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 1 час мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий, от­сю­да имеем:

Ответ: 20.

Ответ: 20

27. B 14 № 26585. Мо­тор­ная лодка про­шла про­тив те­че­ния реки 112 км и вер­ну­лась в пункт от­прав­ле­ния, за­тра­тив на об­рат­ный путь на 6 часов мень­ше. Най­ди­те ско­рость те­че­ния, если ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч – ско­рость те­че­ния реки, тогда ско­рость лодки по те­че­нию равна км/ч, а ско­рость лодки про­тив те­че­ния равна км/ч. На об­рат­ный путь лодка за­тра­ти­ла на 6 часов мень­ше, от­сю­да имеем:

Таким об­ра­зом, ско­рость те­че­ния реки равна 3 км/ч.

Ответ: 3.

Ответ: 3

28. B 14 № 99567. Че­ты­ре ру­баш­ки де­шев­ле курт­ки на 8%. На сколь­ко про­цен­тов пять ру­ба­шек до­ро­же курт­ки?

Ре­ше­ние.

Сто­и­мость че­ты­рех ру­ба­шек со­став­ля­ет 92% сто­и­мо­сти курт­ки. Зна­чит, сто­и­мость одной ру­баш­ки со­став­ля­ет 23% сто­и­мо­сти курт­ки. По­это­му сто­и­мость пяти ру­ба­шек со­став­ля­ет 115% сто­и­мо­сти курт­ки. Это пре­вы­ша­ет сто­и­мость курт­ки на 15%.

Ответ: 15.

Ответ: 15

29. B 14 № 99566. В по­не­дель­ник акции ком­па­нии по­до­ро­жа­ли на не­ко­то­рое ко­ли­че­ство про­цен­тов, а во втор­ник по­де­ше­ве­ли на то же самое ко­ли­че­ство про­цен­тов. В ре­зуль­та­те они стали сто­ить на де­шев­ле, чем при от­кры­тии тор­гов в по­не­дель­ник. На сколь­ко про­цен­тов по­до­ро­жа­ли акции ком­па­нии в по­не­дель­ник?

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим пер­во­на­чаль­ную сто­и­мость акций за 1. Пусть в по­не­дель­ник акции ком­па­нии по­до­ро­жа­ли на , и их сто­и­мость стала со­став­лять . Во втор­ник акции по­де­ше­ве­ли на , и их сто­и­мость стала со­став­лять . В ре­зуль­та­те они стали сто­ить на де­шев­ле, чем при от­кры­тии тор­гов в по­не­дель­ник, то есть 0,96. Таким об­ра­зом,

.

Ответ: 20.

Ответ: 20

30. B 14 № 99568. Семья со­сто­ит из мужа, жены и их до­че­ри сту­дент­ки. Если бы зар­пла­та мужа уве­ли­чи­лась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы сти­пен­дия до­че­ри умень­ши­лась втрое, общий доход семьи со­кра­тил­ся бы на 4%. Сколь­ко про­цен­тов от об­ще­го до­хо­да семьи со­став­ля­ет зар­пла­та жены?

Ре­ше­ние.

Если бы зар­пла­та мужа уве­ли­чи­лась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%, то есть зар­пла­та мужа со­став­ля­ет 67% до­хо­да семьи. Если бы сти­пен­дия до­че­ри умень­ши­лась втрое, общий доход семьи со­кра­тил­ся бы на 4%, то есть 2/3 сти­пен­дии со­став­ля­ют 4% до­хо­да семьи, а вся сти­пен­дия до­че­ри со­став­ля­ет 6% до­хо­да семьи. Таким об­ра­зом, доход жены со­став­ля­ет 100% − 67% − 6% = 27% до­хо­да семьи.

Ответ: 27.

Ответ: 27

31. B 15 № 77434. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Из урав­не­ния най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

На от­рез­ке [−2; 0] функ­ция убы­ва­ет, по­это­му она до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния в точке x = −2. Най­дем это наи­боль­шее зна­че­ние:

Ответ: 12.

Ответ: 12

32. B 15 № 125135. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет мак­си­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­боль­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­боль­шее зна­че­ние:

.

Ответ: 113.

Ответ: 113

33. B 15 № 128053. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеем мак­си­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­боль­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­боль­шее зна­че­ние:

Ответ: 20.

Ответ: 20

B 15 № 70937.

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма .

Ответ: 74.

Ответ: 74

35. B 15 № 77482. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние: .

Ответ: 0.

Ответ: 0

36. B 15 № 124265. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма .

Ответ: −6.

Ответ: -6

-6

37. B 15 № 77455. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

.

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма .

Ответ: 4.

Ответ: 4

38. B 15 № 26703. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­ден­ная про­из­вод­ная не­от­ри­ца­тель­на на за­дан­ном от­рез­ке, за­дан­ная функ­ция воз­рас­та­ет на нем, по­это­му наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции на от­рез­ке яв­ля­ет­ся

Ответ: 6.

Ответ: 6

39. B 15 № 77471. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма .

Ответ: −4.

Ответ: -4

-4

40. B 15 № 503318. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­ден­ная про­из­вод­ная не­по­ло­жи­тель­на на за­дан­ном от­рез­ке, за­дан­ная функ­ция убы­ва­ет на нем, по­это­му наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции на от­рез­ке яв­ля­ет­ся

Ответ: 26.

Ответ: 26

41. C 1 № 504240. а) Ре­ши­те урав­не­ние .

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ре­ше­ние.

а) Левая часть урав­не­ния опре­де­ле­на при то есть при Чис­ли­тель дроби дол­жен быть равен

Серию нужно от­бро­сить. По­лу­ча­ем ответ:

б) При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни, ле­жа­щие на от­рез­ке

Ответ: а) б)

42. C 1 № 506074. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке

Ре­ше­ние.

а) Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Урав­не­ние ре­ше­ний не имеет. Итак, общим ре­ше­ни­ем за­дан­но­го урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа вида

б)

Ответ: а) б)

43. C 1 № 506014. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке

Ре­ше­ние.

а) Огра­ни­че­ния на

Ясно, что по опре­де­ле­нию ло­га­риф­ма (ведь это будет глав­ным «ин­стру­мен­том» при ре­ше­нии дан­но­го урав­не­ния), по­это­му при на­хож­де­нии огра­ни­че­ний на нам пока что до­ста­точ­но иметь в виду всего лишь си­сте­му

Од­на­ко, среди ис­ко­мых ре­ше­ний этой со­во­куп­но­сти урав­не­ний нет зна­че­ний при ко­то­рых их ко­си­нус об­ра­тил­ся бы в нуль. Дело в том, что, когда ко­си­нус не­ко­то­ро­го ар­гу­мен­та об­ра­ща­ет­ся в нуль, его синус либо равен еди­ни­це, либо равен минус еди­ни­це. А огра­ни­че­ния на с уче­том об­ла­сти опре­де­ле­ния ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции в дан­ном слу­чае не поз­во­ля­ют си­ну­су иметь ни по­ло­жи­тель­ный знак, ни быть рав­ным еди­ни­це. Сле­до­ва­тель­но, имеет место:

б) Ясно, что в про­ме­жу­ток по­па­да­ет лишь один ко­рень:

Ответ: а) б)

44. C 1 № 505616. Ре­ши­те урав­не­ние a)

б) Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке

Ре­ше­ние.

a)

Серия кор­ней со­дер­жит­ся в серии кор­ней

б) Ясно, что в за­дан­ный про­ме­жу­ток по­па­да­ют корни: Кроме того, будет еще один ко­рень

Ответ: а) б)

45. C 1 № 505640. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке

Ре­ше­ние.

а)

б) Вы­бор­ка кор­ней. Будем ис­кать стро­го по­ло­жи­тель­ные корни.

Из серии

При при Даль­ней­шие по­ис­ки кор­ней из дан­ной серии смыс­ла не имеют.

Из серии

При (не­ра­вен­ство оче­вид­ное).

При (не­ра­вен­ство оче­вид­ное).

При Даль­ней­шие по­ис­ки кор­ней из дан­ной серии смыс­ла не имеют.

Итак,

Ответ: а) б)

46. C 1 № 484544. Ре­ши­те урав­не­ние .

Ре­ше­ние.

Про­из­ве­де­ние двух вы­ра­же­ний равно нулю, если хотя бы одно из них равно нулю, а дру­гое при этом не те­ря­ет смыс­ла:

По­сколь­ку , то . По­это­му

Ответ: .

47. C 1 № 505386. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ре­ше­ние.

Сде­ла­ем за­ме­ну

б) При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни, ле­жа­щие на от­рез­ке

Ответ: а) б)

48. C 1 № 502053. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ре­ше­ние.

а) За­ме­тим, что урав­не­ние опре­де­ле­но при любом За­пи­шем ис­ход­ное урав­не­ние в виде:

Зна­чит, либо от­ку­да или либо , от­ку­да или

б) По­сколь­ку от­рез­ку при­над­ле­жат корни и

Ответ: а) б)

49. C 1 № 484550. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пер­вое урав­не­ние. Из не­ра­вен­ства по­лу­ча­ем .

Ра­вен­ство нулю может до­сти­гать­ся в одном из двух слу­ча­ев.

Пер­вый слу­чай. тогда или Если , то ; если , то Из вто­ро­го урав­не­ния по­лу­ча­ем , от­ку­да или . При в пер­вом урав­не­нии Зна­чит, пер­вое ре­ше­ние си­сте­мы

Вто­рой слу­чай. Если те­перь . Тогда , и по­это­му из пер­во­го урав­не­ния по­лу­ча­ем: .

Учтем, что . Тогда . Из всех ре­ше­ний урав­не­ния этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко . При этом и, из вто­ро­го урав­не­ния по­лу­ча­ем: . Из всех ре­ше­ний этого урав­не­ния ин­тер­ва­лу при­над­ле­жит толь­ко . Зна­чит, вто­рое ре­ше­ние си­сте­мы