Исследование функций и построение графиков

Общий план исследования функции:

1. Установить область определения функции .

2. Установить наличие или отсутствие четности, нечетности, периодичности.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат, точки разрыва

функции, вертикальные асимптоты (если они имеются).

4. Используя первую производную , исследовать функцию на монотонность, т.е. установить интервалы возрастания и убывания функции, найти точки возможного экстремума функции (критические точки) и определить его вид, если он существует. Используя вторую производную , определить интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.

5. Найти наклонные и горизонтальные асимптоты графика функции.

6. При необходимости найти числовые значения функции в дополнительных точках числовой оси и построить ее график.

Пример. Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и построить ее график.

1. Область определения функции находится из условия , то есть . Следовательно .

2. Функция не является периодической.

Выясним вопрос о четности и нечетности функции:

Функция не относится ни к классу четных, ни к классу нечетных функций.

3. Находим точки пересечения графика функции с осями координат.

Пересечение с осью ОУ: x =0, следовательно .

Пересечение с осью OХ: y =0, следовательно , откуда x= 0.

Таким образом, график проходит через начало координат и функция принимает отрицательные значения в интервале и положительные в интервале .

Функция непрерывна всюду, где она определена, т.е. при всех x, кроме х =1. Исследуем эту точку:

;

.

Таким образом, точка является точкой разрыва 2-го рода.

Так как, при функция , то прямая является вертикальной асимптотой.

4. Найдем критические точки 1-го рода, т.е. точки, в которых первая производная функции обращается в нуль или не существует:

.

Из условия получим, не существует при . Исследуем характер критических точек. Точка не является точкой экстремума, так как функция в этой точке не определена.

Исследуем как функцию от х. Найдем интервалы, в которых имеет постоянный знак.

Определим области возрастания и убывания функции:

при имеем — функция возрастает;

при имеем — функция убывает;

при имеем — функция возрастает.

В точке функция имеет максимум:

В точке функция имеет минимум:

5. Определим области выпуклости и вогнутости кривой и точки перегиба.

Найдем критические точки функции 2-го рода, т. е. точки в которых вторая производная обращается в нуль или не существует.

Из условия получим: и в точке х ₃ = 1 не существует.

Исследуем как функцию от х, находим:

при — кривая вогнутая,

при — кривая выпуклая,

при — кривая выпуклая,

при — кривая вогнутая.

Точка есть точка перегиба. Точка не является точкой перегиба т. к. это точка максимума. Точка не может быть точкой перегиба, т. к. это точка разрыва функции.

6. Определим наклонные асимптоты кривой в виде .

Следовательно — наклонная асимптота.

Результаты исследований сведем в таблицу:

x	)		(;0)		(0;1)		(1; )	()	()
	+		+		—	не сущ.	—		+
	+		—		—	не сущ.	+		+
у	возрастает вогнута	точка перегиба	возрастает выпукла	max	убывает выпукла	точка разрыва	убывает вогнута	min	возрастает вогнута

7. Строим график