Основные элементарные функции

Функцией называется закон, по которому каждому элементу x из множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.

Функцию принято записывать в виде , . Множество X называется областью определения функции: . Множество Y называется множеством значений функции: . Графиком функции называется множество упорядоченных пар точек

.

В средней школе изучаются основные элементарные функции:

1) постоянная функция ;

2) степенные функции ;

3) показательные функции ;

4) логарифмические функции ;

5) тригонометрические функции , , и ;

6) круговые (обратные тригонометрические) функции , , и .

График постоянной функции представлен на рис. 1.

Рис. 1

Поведение графика степенной функции определяется величиной показателя : или . Например, поведение графиков функций и представлено на рис. 2.

Функции и называются взаимно обратными, если выполняются условия:

1) для любого значения ;

2) для любого значения .

Функции и являются взаимно обратными. Функцию можно представить в виде . Поэтому графиком функции , является график функции , если оси координат OX и OY поменять местами. Расположение графиков взаимно обратных функций характеризуется симметрией относительно прямой . Для взаимно обратных функций сохраняется характер монотонности: возрастание, либо убывание.

Рис. 2

Некоторые степенные функции определены на всей числовой оси, например, функция . Эта функция четная, т.к. . Ее график называется параболой, он симметричен относительно оси OY (см. рис. 3а).

Рис. 3а Рис. 3б

Функция также определена на всей числовой оси. Эта функция нечетная, т.к. . Ее график называется кубической параболой, он симметричен относительно точки O (см. рис. 3б).

Степенные функции при можно рассмотреть на примере функций , и , которые являются взаимно обратными. Их графики симметричны относительно прямой (см. рис. 4).

Рис. 4

Функция определена на множестве . Ее график называется гиперболой, он симметричен относительно прямых и . Обратной является сама функция (см. рис. 5).

Рис. 5

Показательные функции определены на всей числовой оси. Поведение графика показательной функции определяется величиной основания: или . Например, графики функций и представлены на рис. 6, они симметричны относительно оси OY.

Рис. 6

Функции, обратные для показательных, составляют класс логарифмических функций. Функцию можно представить в виде . Поэтому графиком функции является график функции , если оси координат OX и OY поменять местами. Логарифмические функции определены на множестве значений показательных функций, т.е. при . Графики функций и симметричны относительно оси OX (см. рис. 7).

Рис. 7

Функция определена на всей числовой оси, - периодична, множеством её значений является отрезок , графиком является синусоида (см. рис. 8).

Рис. 8

Функция - это тот же синус, но в другой системе координат: (см. рис. 9).

Рис. 9

Функция определена на всей числовой оси, кроме нулей знаменателя, т.е. , - периодична, множеством значений является вся числовая ось (см. рис. 10).

Рис. 10

Функция определена на всей числовой оси, кроме нулей знаменателя, т.е. , - периодична, множеством значений является вся числовая ось (см. рис. 11).

Рис. 11

Функцию можно представить в виде . Поэтому графиком функции является график функции , если оси координат OX и OY поменять местами. Однако, синусоида, расположенная вдоль оси OY, не является графиком какой - либо функции, т.к. каждому значению соответствует бесконечно много значений y. Чтобы избежать такой ситуации, функцию арксинус будем определять как взаимно обратную для функции , определенной на промежутке монотонности. Таким промежутком принято рассматривать отрезок (см. рис. 12):

,

Рис. 12

Аналогично, ограничиваясь промежутком монотонности, определяются остальные круговые функции. Арккосинус (см. рис. 13):

, .

Рис. 13

Арктангенс (см. рис. 14):

, .

Рис. 14

Арккотангенс (см. рис. 15):

, .

Рис. 15