Статистический анализ вариационных (интервальных) данных (Задача №3)

Совокупность значений изучаемого признака с указанием числа их различных значений называется распределением признака. Распределение представляют в форме вариационного ряда. В соотношении значений признака (вариантов) и числа единиц (частот) проявляется закономерность распределения. Она описывается различными статистическими показателями в частности:

· частотные показатели;

· показатели центра распределения;

· показатели степени вариации;

· показатели формы распределения.

Частотными показателями любого ряда распределения являются абсолютная численность i- и группы — частота f_i и относительная частота — частость d_i, где , а , или 100%.

Кумулятивная (накопленная) частота S_i (частость S_d) характеризует объем совокупности со значениями вариантов, не превышающих X_i,. Кумулятивные частотные показатели образуются последовательным суммированием абсолютных или относительных частот, например: S₁=f_i; S₂=f₁+f₂; S₃=f₁+f₂+f₃ и т. д.

Плотность частоты (частости) представляет собой частоту, приходящуюся на единицу интервала, т.е. q_i=f_i/h_i или q_i=d_i/h_i, где h_i, - величина i -го интервала. Данный показатель используют, если интервалы вариационного ряда неравные и необходимо графически изобразить этот ряд в виде гистограммы, а так же при расчете моды.

Показатели центра распределения. К показателям центра распределения относят среднюю, моду и медиану.

Средняя величина характеризует типичный уровень признака в совокупности. По данным вариационного ряда распределения средняя рассчитывается как арифметическая взвешенная:

· на основе частот:

· на основе частостей

Если используется интервальный ряд распределения то, допуская, что распределение в границах i -го интервала является равномерным, как вариант х_i, - используют середину интервала (х '). При этом величину открытого интервала условно считают такой же, как и величину соседнего закрытого интервала.

Пример. Провести анализ данных о результатах деятельности предприятия по оказанию услуг. В таблице 5.1 приводится данные о частоте с которой встречается дневная реализация в соответствующем диапазоне.

Таблица 5.1

Результаты деятельности предприятии по оказанию услуг населению

Возраст оборудования, тас.руб	Количество дней (fi)	Середина интервала хi	хifi	Накопленная частота, Si	[xi-xср]	[xi-xср]*fi	[xi-xср]2 *fi	(xi-xср)3 *fi	(xi-xср)4 *fi
До 5		2,5			11,2	112,0	1254,4	-14049
5 – 10		7,5	142,5		6,2	117,8	730,4	-4528,2
10 – 15		12,5			1,2	36,0	43,2	-51,8	62,2
15 – 20		17,5			3,8	91,2	346,6	1316,9	5004,3
20 - 25		22,5			8,8	105,6	929,3	8177,7	71963,4
25 - 30		27,5	137,5		13,8	69,0	952,2
å		-				531,6	4256,0	4005,6

Внимание! В контрольных заданиях, исходные данные могут задаваться в виде величины дневной реализации, см. табл. 5.2 и рис. 5.1. В этом случае необходимо преобразовать исходные данные в частотные. Для этого необходимо провести группировку (см. выше) исходных данных с равными группировочными интервалами. В ниже приведенном примере, интервал принимается равным 0,4 тыс. руб., а весь диапазон разбивается на 10 групп (то есть необходимо сощитать количество дней, в которые реализация находилась в заданных границах).

Таблица 5.2

Динамика оказание услуг по четырем месяцам, тыс.руб.

День	№ декады
	5,29	4,86	4,60	5,07	4,58	4,22	5,22	5,01	5,34	5,76	5,97	4,40
	5,66	5,88	4,79	4,78	4,40	5,47	4,80	4,40	4,82	4,75	5,27	5,31
	4,80	4,15	4,70	4,95	5,05	4,49	4,63	4,73	5,10	4,81	4,27	5,58
	5,52	5,67	5,03	5,44	4,82	4,93	4,83	4,76	5,27	4,30	5,64	5,79
	5,89	6,16	4,05	5,18	4,78	5,36	4,86	4,89	5,32	5,39	4,68	4,75
	6,03	4,41	5,68	5,33	5,07	5,23	4,35	5,24	4,99	4,12	4,47	5,49
	5,11	5,67	4,39	4,86	5,19	5,01	5,80	5,09	5,61	5,25	5,13	5,56
	4,35	5,22	4,81	5,41	5,80	4,91	4,52	4,51	5,13	4,95	4,85	6,24
	4,57	4,99	4,96	4,96	4,75	5,19	5,21	4,19	5,12	4,92	5,23	4,79
	5,22	5,34	4,27	5,08	4,12	5,52	5,47	5,18	4,61	5,42	4,53	4,97

Рис. 5.1 Динамика продаж услуги, тыс.руб.

В результате исходные данные преобразуются в частотный вид см. табл. 5.3.

Таблица 5.3

Частотная интерпретация исходных данных

Возраст оборудования, тыс.руб	Количество дней (fi)	Середина интервала хi
7,3 – 7,7		7,5
7,7 -8,1		7,9
8,1 – 8,5		8,3
8,5 – 8,9		8,7
8,9 – 9,3		9,1
9,3 -9,7		9,5
9,7 – 10,1		9,9
10,1- 10,4		10,3
10,4 – 10,8		10,6
10,8 -11,2

На основании таблицы построена гистограмма, рис. 5.2.

Рис. 5.2 Гистограмма распределения частот дневных выручек

Следует иметь ввиду, что самый быстрый способ преобразования временного ряда в частотный использования пакета Statistica. Для этого исходные данные копируются в пакет, а затем нажимая кнопку «Граф» в выпавшем меню выбирается оция «Гистограмма» и в ней определяется число групп («Категория» в нашем случае 10), «Тип графика» Обычный «Variables» (Данные) – соответствующий столбец с данными. OK. В построенной гистограмме можно поставить значение частот для этого при нахождении курсора гистограмме в меню вызванном правой клавишей выбирает опцию «Метки точки» кликнуть на окне «Показать метки»и кликнуть на окне «Счет».

Решение

Средне дневная реализация определяется x_ср=∑(x_i*f_i)/∑f_i = 1370/100=13,7 тыс.руб.

Мода (Мо) — значение признака, наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности, т.е. это одна из вариант признака, которая в ряду распределения имеет наибольшую частоту (частость).

В дискретном ряду мода определяется визуально по максимальной частоте или частости.

В интервальном ряду по наибольшей частоте определяется модальные интервал (например, по данным таблицы наибольшая частота f_max= 30 %, а модальный интервал Мо=10-15 тыс.руб.), а конкретное значение моды в модальном интервале определяется:

,

где x_o и h –соответственно нижняя граница и величина модального интервала (например, по данным таблицы x_o =10 тыс.руб, а h= (20-15)=5 тыс.руб., см. рис. 3.3);

f_M0 – частота (частность) модального интервала (по данным таблицы f_M0 =30%, f_Mo-1 =19% f_Mo+1 =24% соответственно значение моды: Mo=10+5(30-19)/[(30-19)+(30-24)]=13.24 тыс.руб.).

Медиана (Ме) — значение признака (варианта), приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности, т.е. это вариант, который делит ряд распределения на две равные по объему части.

Медиана, как и мода, не зависит от крайних значений вариантов, поэтому применяется для характеристики центра в ряду распределения с неопределенными границами.

Для определения медианы в ранжированном ряду необходимо вначале найти номер медианы: N=(n+1)/2 (в нашем случае N=(100+1)/2=50.5%, см. рис. 5.4). Затем по накопленным (кумулятивным) частотам S_i дискретного ряда определяется медиальный интервал (в нашем случае интервал совпадает с модальным интервалом (такое совпадение не всегда обязательно, но встречается часто) это 10 – 15 тыс.руб, поскольку ближайшая большая 50% накопленная частота S_i = 59%).

Рис. 5.3. Гистограмма и полигон

В дискретном ряду распределения медианы находится непосредственно по накопленной частоте, соответствующей номеру медианы.

В случае интервального (вариационного) ряда распределения конкретного значение медианы вычисляется по формуле:

где x_o и h –соответственно нижняя граница и величина медианного интервала (по данным таблицы x_o =10 тыс.руб., а h= (15-10)=5 тыс.руб.);

f_Me – частота (частность) медианного интервала (по данным таблицы f_Me =30%);

S_Me-1 – накопленная частота предмедиального интервала (S_Me-1 = 29%).

Значение медианы для примера из таблицы Ме=10+5(50-29)/30=13,5 тыс.руб. Откуда можно заключить, что половина всего оборудование имеет возраст не более 13,5 тыс.руб. или половина всего оборудования имеет возраст больше 13,5 тыс.руб.

В симметричных рядах распределение значения моды и медианы совпадают со вредней величиной , а в умеренно асимметричных рядах они соотносятся: .

Кроме медианы в анализе закономерностей распределения используются также квартели и децели, при расчете которых в формуле расчета медиального значения Ме множитель ½ заменяется на 0,25 и 0,1 соответственно.

Показатели степени вариации и способы их расчета. Для измерения и оценки вариации используют абсолютные и относительные характеристики.

Наиболее поверхностная оценка рассеяния (вариации) совокупности распределения определяется с помощью вариационного размаха R, который показывает, насколько велико различие между единицами совокупности, имеющими самое маленькое и самое большое значение признака: R=x_max-x_min.

Рис. 5.4. Кумулята

Среднее линейное отклонение является обобщающей мерой вариации индивидуальных значений признака от средней арифметической величины. Она дает абсолютную меру вариации.

Для интервальных (вариационных) рядов взвешенная средняя определяется:

Для приведенного выше примера - =531,6/100=5,32 тыс.руб.

Дисперсия (s)² — это средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от средней величины. Дисперсию используют не только для оценки вариации, но и при измерении взаимосвязей, а также для проверки статистических гипотез.

Для приведенного выше примера - =4256/100=42,56.

Среднее квадратическое отклонение - s представляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от их средней, т.е. оно исчисляется путем извлечения квадратного корня из дисперсии и измеряется в тех же единицах, что и варьирующий признак.

Для приведенного выше примера - =6 тыс.руб.

Коэффициент осцилляции:

Для приведенного выше примера - =182,48%.

Линейный коэффициент вариации:

Для приведенного выше примера - = 36,5%.

Коэффициент вариации:

Для приведенного выше примера = 43,8 %.

Показатели асимметрии и эксцесса. Симметричным называется распределение у которого частоты равноотстоящие от моды равны между собой, следовательно выполняется соотношение =Мо=Ме. Соответственно наиболее простой мерой асимметрии является (x_ср-Мо).

Коэффициент асимметрии Пирсона:

При К_а>0 скошенность ряда правосторонняя (т.е. >Mo), при К_а<0 скошенность ряда левосторонняя (т.е. <Mo). В нашем примере К_а=0,08 и следовательно ряд характеризуется правосторонней незначительной асимметрией.

Нормальный коэффициент асимметрии третьего порядка. Часто используется в прикладных расчетах. Коэффициент не зависит от масштаба, выбранного при измерении варианта, так как является отвлеченной величиной и определяется по формуле:

,

где - центральный момент третьего порядка и определяется:

Для случая из таблицы 4 нормальный коэффициент асимметрии третьего порядка будет равен А₃=412,64/216 =1,91.

Нормальный коэффициент асимметрии четвертого порядка. Используется для определения «крутизны» («заостренности») графика распределения частот. Определяется по формуле:

,

где - центральный момент третьего порядка и определяется:

При нормальном распределении А₄=3. Для измерении асимметрии эталоном служит симметричное (нормальное) распределение, для которого А₃=0.

Для случая из таблицы 4 нормальный коэффициент асимметрии четвертого порядка будет равен А₄=3,42.

Показатель эксцесса распределения:

.

При Е_k>0 распределение островершинное, при Е_k <0 – плосковершинное.

В нашем примере Е_k=(3,42-3)=0,42 и следовательно ряд островершинный.