Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное (НОК)

Определение. Целые числа a и b называются взаимно простыми, если их наибольший общий натуральный делитель равен 1: (a, b)=1.

Теорема 5.1. (Основные свойства взаимной простоты).

1)(Критерий взаимной простоты) Целые числа a и b взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют целые числа x и y такие, что ax+by=1.

2)Если (a, b)= 1, k- натуральное число,то (ak, bk)= k.

3)Если (a, b)= 1 и c⋮a, c⋮b, то c⋮a∙b,.

4)Произведение целых чисел, каждое из которых взаимно просто с одним и тем же целым числом, также взаимно просто с этим числом: (a, c)= 1, (b, c)= 1, (ab, c)= 1.

5)Если (a, b)= 1, то для любых натуральных чисел m и n: (aⁿ, b^m)= 1.

6)Если (a, b)= k, то числа и взаимно просты: (, )= 1.

Замечание. В свойстве 3) условие (a, b)= 1 обязательно. Например, 24⋮8, 24⋮6, но 24 не делится на 48=8∙6.

Определение. Целое число M называется общим кратным целых чисел a и b, если каждое из них делит число M: M⋮a, M⋮b.

Обозначение. M – ОК (a, b).

Определение. Целое число m называется наименьшим общим кратным целых чисел a и b, если 1) m – ОК(a, b); 2) m делится на любое ОК(a,b).

Обозначение. Натуральное наименьшее общее кратное целых чисел a и b обозначается [ a, b ].

Замечание. У пары целых чисел и , где , НОК – целые числа . У нулевой пары целых чисел НОК не существует.

Теорема 6.1. (О свойствах НОК).

1)Для любых натуральных чисел a и b НОК существует, причём определено с точностью до знака.

2)Если a и b - натуральные числа, то [ a, b ]= .

3)Если a и b - ненулевые целые числа, то [ a, b ]= .

4)[ a, b ]-наименьшее по величине положительное ОК(a, b).

5)Если a⋮k и b⋮k,то [ , ]= ∙[ a, b ].