Изосова Л.А., Изосов А.В

Знание закономерностей, которым подчинены массовые од- нородные случайные события позволяет предвидеть, как эти события будут проистекать. Можно, например, предсказать с небольшой погрешностью число появлений «герба», если моне- та будет подброшена большое число раз.

Методы теории вероятностей широко применяются в раз -личных отраслях науки и техники (теоретическая физика, тео- рия надёжности, теория стрельбы, теория ошибок наблюдений, общая теория связи, геодезия, астрономия и т.д.)

Теория вероятностей служит также базой математической и прикладной статистики, которые, в свою очередь, используются при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, при контроле качества производст -ва и т.п.

Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и др. в 16 -17 веке). Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Бернулли (1654 – 1705) Доказанная им теоре- ма «Закон больших чисел» была первым теоретическим обос- нованием накопленных ранее фактов. Дальнейшим успехам те- ория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др. Наиболее плодотворный период развития теории вероят- ностей связан с известными именами русских математиков, та- ких как Чебышев, Ляпунов, Марков (19 – 20 век). В этот пери -од теория вероятностей становится строгой математической на- укой.

§ 2 ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОБЫТИЙ,

АЛГЕБРА СОБЫТИЙ.

Будем различать элементарные (неразложимые) события и составные события (или просто события).

Пример 1: подбрасывание игральной кости 1 раз. Элемен -тарные события, обозначим их , число выпавших очков на верхней грани (), Множество всех элементарных событий в данном опыте . Составные события, или просто события, могут быть описаны как подмно- жества множества всех элементарных событий. Например, cо- бытие А - «выпало чётное число очков» можно выразить сле- дующим образом .

Пример 2: Трёхкратное подбрасывание монеты.

Пусть 1 - выпал «герб», 0 – выпала «цифра». Тогда множество всех элементарных событий:

.

Событие А - «при первом подбрасывании выпал герб» можно представить следующим образом»:

.

Пример 3. Стрельба по плоскости.

Если мы введём на плоскости прямоугольную систему коор -динат , то множнство элементарных событий (попадание в некоторую точку плоскости) записывается в виде:

.

Событие А - «попадание в круг единичного радиуса» можем записать в виде .

Итак, элементарные события - это все мыслимые исходы опыта или наблюдения. События могут быть описаны как под- множества множества всех элементарных событий. Совокуп -ность всех элементарных событий данного опыта будем назы- вать пространством элементарных событий и обозначать Оно может быть конечным, как в приерах 1 и 2, счётным () или бесконечным несчёт- ным, как в примере 3. Любое подмножество иножества называется событием.

Суммой (или объединением) двух событий называется событие, состоящее из элементарных событий, вхо- дящих по крайней мере в одно из событий А или В.

Например: = «попадание в цель при 1 - м выстреле», - «попадание в цель при 2 – м выстреле», тогда - «хотя бы одно попадание в цель».

Следует помнить свойство: .

Произведением (или пересечением) двух событий называется событие, состоящее из элементарных со- бытий, входящих и в событие и в событие .

Например: = «попадание в цель при 1 - м выстреле», - «попадание в цель при 2 – м выстреле», тогда - попа- дание в цель при обоих выстрелах.

Свойство: .

Разностью (или ) называется событие, состо- ящее из элементарных событий, входящих в множество , но не входящих в множество . (Другими словами, событие произошло, а событие не произошло.)

Например, при бросании игрального кубика: - «выпала чётная цыфра», т.е. , - «выпала цыфра, крат- ная 3», т.е. . Тогда .

Событие , состоящее из всех элементарных исходов данного опыта, называется достоверным событием (проис- ходит «всегда» в данном опыте).

Событие , не содержащее ни одного из элементарных исходов данного опыта, называется невозможным событием.

Например, при бросании игрального кубика «выпала цифра от 1 до 6» - достоверное событие, «выпала цифра 10» - не -возможное собтие.

Противоположное событие (событие не произошло) - это дополнение события до достоверного, т.е. .

Например: - «три дня подряд шёл дождь», тогда - «хотя бы один день дождя не было»; - «из пяти чисел хо -тя бы одно чётное», тогда - «все пять чисел нечётные».

Свойства:

События и называются несовместными, если невоз -можно их одновременное появление в одном опыте, (т.е., если ).

Например, при бросании монеты: - «выпал герб», - «выпала цифра» - несовместные события.

( влечёт , т.е элементарные события, входя -щие в событие , входят и в событие ) - из наступления события следует наступление события .

Например: - «попадание при первом выстреле», - «хотя бы одно попадание при трёх выстрелах». Тогда .

Если и , то говорят, что события и равносильны или эквивалентны.

означает, что элементарное событие входит в событие .

Понятия произведения и суммы событий можно перенести на случай произвольной конечной или бесконечной последо -вательности событий:

Событие состоит из элемен -тарных событий, входящих хотя бы в одно из событий , .

Событие состоит из элементарных событий, входящих одновременно в каждое из событий , .

Говорят, события образуют полную группу, если в результате опыта происходит хотя бы одно из них.

Пусть - произвольное пространство элементарных собы- тий. - некоторый класс подмножеств пространства . Этот класс подмножеств называется алгеброй событий, если и для любых событий выполняется: , .

§ 3 ЧАСТОТА СОБЫТИЯ И ЕЁ СВОЙСТВА,

Пусть произведена серия испытаний, в каждом из кото -рых может появиться или не появиться событие .

Частотой события в данной серии испытаний называ –ется отношение числа испытаний, в которых появилось со- бытие , к общему числу испытаний, т.е. .

СВОЙСТВА ЧАСТОТЫ СОБЫТИЯ.

1) Частота случайного события неотрицательное число, не большее единицы, т.е.

.

Это свойство очевидно, так как всегда .

2) Частота достоверного события равна единице (так как ).

3) Частота невозможного события равна нулю . (так как в этом случае ).

4) Частота суммы двух несовместных событий равна сум- ме частот этих событий, т.е.

.

В самом деле, если событие появилось раз, а со- бытие раз в испытаниях, то, так как события не –совместны и невозможно их одновременное появление в дан- ных испытаниях, событие появится раз.

Тогда

.

Чтобы сформулировать следующее свойство, введём ещё одно понятие. Частота одного события, вычисленная при ус- ловии, что произошло другое событие, называется условной частотой и обозначается . Если события и совместны, то можем сформулировать свойство ум- ножения частот.

5) Частота произведения двух событий равна произведе –

нию частоты одного из них на условную частоту другого

(1)

В самом деле, пусть в серии из испытаний событие появилось раз, событие - раз, а вместе эти собы- тия появились раз. Тогда

Если мы подставим все эти частоты в формулу (1), то получим тождество:

.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производятся опыты, в каждом из которых число ис -пытаний достаточно большое, то частота события проявляет свойство устойчивости: в различных опытах частота меня- ется мало (тем меньше, чем больше число испытаний в опыте) и колеблется относительно некоторого постоянного числа.

§ 4 ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ.

Учитывая свойство устойчивости частоты события, можно ввести понятие вероятности события.

Определение. Вероятностью случайного события назы –вается постоянное число, около которого группируются часто- ты этого события по мере увеличения числа испытаний.

Это определение вероятности называется статистическим.

Положительное свойство этого определения заключается в том, что оно опирается на реальный эксперимент. Но в этом же кроется и его отрицательная сторона. Для надёжного опреде -ления вероятности, в смысле этого определения, необходимо произвести большое число опытов, что зачастую связано с большими материальными затратами, например, при проверке изделий на надёжность, которая приводит к разрушению изде- лия. Однако то, что каждое массовое случайное событие имеет свою вероятность, является фактом, подтверждаемым опытом, что и доказывает существование статистических закономернос- тей в природе.

Однако статистическое определение вероятности, как осно- ванное на экспериментальных данных, не даёт возможности заранее, до эксперимента, определить вероятность события, т.е. не является «рабочим определением».

Рассмотрим другое определение вероятности, которое на -зывается классическим. Это определение основано на понятии равновозможных несовместных событий (исходов данного опы -та, которые образуют полную группу, т.е. учтены все возмож -ные исходы данного опыта), т.е. шансов. Рассмотрение таких групп равновозможных событий можно свести к так называе -мой «схеме урн» (урна содержит одинаковые, неразличимые на ощупь шарики: разноцветные или занумерованные, которые из- влекаются произвольным образом). Например, испытание с подбрасыванием монеты можно сравнить с извлечением из ур- ны, содержащей два шара (белого и чёрного), шара опреде -лённого цвета. Опыт «подбрасывание игрального кубика» рав- носилен опыту «извлечение из урны, содержащей 6 занумеро- ванных шаров, шара с определённым номером» и т.п.

По отношению к каждому событию равновозможные исходы (шансы) делятся на благоприятные, при которых событие про- исходит, и, соответственно - неблагоприятные, при которых со- бытие не происходит. Например, при бросании игрального ку –бика, для события - «выпало чётное число» благоприятны- ми являются 3 шанса - выпали цыфры 2, 4, 6.

Определение. Вероятностью появления некоторого собы- тия называется отношение числа шансов, благоприятствующих данному событию, к общему числу равновозможных в данном опыте шансов. Такое определение вероятности называется классическим.

Другими словами , где - общее число равно- возможных исходов, а - число благоприятных исходов.

Важным достоинством этого определения является то, что с его помощью вероятность события можно определить зара- нее, до опыта, и сделать соответствующие выводы.

Недостаток его заключается в том, что это определения можно применять только в случае равновозможных исходов опыта.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Двоекратное подбрасывание монеты. Возможные исходы

«ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ» (Г – герб, Ц – цифра). Всего . Собы- тие - выпала хотя бы одна цифра. Тогда количество бла- гоприятных исходов и вероятность события :

2. В урне находится 10 шаров, из которых 6 белых и 4

чёрных. Произвольным образом извлекаются 2 шара. Опреде- лить вероятность того, что оба шара белые (событие ).

Общее число исходов в данном случае

.

Число благоприятных исходов . Тогда вероятность события : .

3. Из цифр 1, 2, 3, 5 составляется 4 - х значное число.

Определить вероятность того, что полученнок число чётное (событие ). Общее число возможных исходов:

Число благоприятных исходов (так как пос- ледняя цифра 2 уже зафиксирована), Тогда

.

4. В коробке 20 шаров, из которых 7 красных, 8 синих и

5 зелёных. Случайным образом извлекаются 6 шаров. Найти

вероятность того, что среди отобранных шаров разноцветные шары будут поровну, т.е. по 2 (Событие ).

Общее число исходов

Число благоприятных исходов

Тогда .

При классическом определении вероятностей можно расс -матривать только конечные полные группы равновозможных событий. На практике же зачастую встречаются такие испы –тания, число возможных исходов в которых бесконечно. При- менить классическое определение в данном случае невозмож- но. Однако в этом случае можно воспользоваться так называ -емым геометрическим определением вероятности, которое также опирается на понятие равновозможности исходов данно- го опыта. Применяется этот метод в задачах, сводящихся к случайному «бросанию точки» на конечный участок прямой, плоскости или пространства. Можно ограничиться плоским слу- чаем, так как одномерный и трёхмерный случаи отличаются только тем, что вместо площади в них имеем дело с длиной отрезка или с объёмом.

Пусть на плоскости имеется некоторая область пло- щади , внутри которой произвольным образом располо –жена область с площадью . В область наугад бро- сается точка. Считая равновозможными исходами данного опы-

та попадание в любую точку области , требуется опре- делить вероятность попадания этой точки в область . В та- ких условиях вероятоность попадания точки в какую – либо часть области пропорциональна площади этой части и не за- висит от её формы и места расположения, т.е. вероятность можно найти по формуле: .

Рассмотрим несколько примеров.

1. Пусть даны две концентрические окружности радиусов

и , соответственно, Точка бросается в круг большего ра- диуса. Найти вероятность того, что она попадёт в кольцо, зак- лючённое между окружностями Так как площадь ,

площадь , то искомая вероятность равна

.

2. На отрезок числовой оси, длиной 5 см, произволь-

ным образом ставятся две точки и (). Найти вероятность того, что из полученных отрезков можно построить треугольник.

0 5

Чтобы из данных от- резков можно было построить треугольник, должны быть вы -полнены следующие условия:

или

Кроме того, в данных условиях, .

Из второй системы получаем условия, которые необходимы по условию задачи:

= .

Это геометрическа

5 иллюстрация данной

задачи.

2,5

0 2,5 5

Область - это квадрат стороной 5 см., область - это выделенная часть квадрата. Её площадь составляет вось- мую часть площади квадрата. Поэтому искомая вероятность .

И таких задач, которые сводятся к вычислению геометри- ческих вероятностей существует достаточно много.

§ 5 АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Теория вероятностей, как и любая другая математическая наука, строится на основе некоторой системы аксиом. Исходя из статистического определения вероятности, аксиоматику не -обходимо вводить таким образом, чтобы она достаточно хоро- шо согласовывалась с опытом, т.е. вероятность события долж- на обладать свойствами частоты. Поэтому основные аксиомы:

Аксиома 1. Вероятность события - это неотрицательное число, заключённое между 0 и 1, т.е.

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна 1, т.е.

Аксиома 3. Вероятность невозможного события равна 0,

Замечание. Если вероятность некоторого события равна нулю, то это ещё не означает, что данное событие невоз -можно. Например, при выстреле по некоторой мишени, вероят- ность попадания в определённую точку равна нулю, но это ещё не означает, что данное событие невозможно. Просто ми- шень содержит бесконечно много точек. Точно также, если ве- роятность события равна 1, это ещё не означает, что оно дос- товерно. (Если в рассмотренном примере: А - «попадание в некоторую точку мишени», то , а , но - не достоверное событие.)

Аксиома 4 (аксиома сложения вероятностей). Вероят -ность суммы двух несовместных событий равна сумме их ве- роятностей:

Определение Вероятность появления события , вычис -ленная при условии появления другого события, скажем , называется условной вероятностью и обозначается .

Аксиома 5 (аксиома умножения вероятностей). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, т.е.

Следствие. На основании этой аксиомы, условную вероят -ность события можно искать по формуле .

Эти аксиомы уже позволяют решать некоторые простейшие задачи.

Пример 1. Из урны, содержащей 10 занумерованных шаров, необходимо извлечь шар с номером, кратным 3 или 4. События: - «номер шара делится на 3» = «3, 6, 9» и

- «номер шара делится на 4» = «4, 8».

Эти события несовместны. По

аксиоме 4, .

Пример 2. Из урны, содержащей 6 белых и 4 чёрных шара, поочерёдно (без возвращения) извлекают два шара. Найти ве- роятность того, что оба извлечённых шара белые. А - первый шар белый, В - второй шар белый. Тогда

.

§ 6 ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНО -

СТЕЙ.

С помощью метода математической индукции, аксиому сло- жения вероятностей можно обобщить на случай произвольного конечного числа несовместных событий :

Теорема. (теорема о сложении вероятностей несовместных событий) Вероятность появления хотя бы одного из не- совместных событий равна сумме их вероятностей:

Приведём важные следствия этой теоремы:

Следствие 1. Если события образуют пол -ную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице, т.е.

В самом деле, в этом случае и

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е.

В самом деле, противоположные события несовместны и их сумма

Для случая бесконечного числа событий:

Аксиома 6. Вероятность суммы бесконечно большого числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих собы –тий

Аксиому умножения вероятностей также, с помощью метода математической индукции, можно обобщить на случай произ - вольного конечного числа множителей .

Теорема. (об умножении вероятностей) Вероятность произ -ведения, или совместного появления событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных событий, вычисленные при условии, что все предшествующие события имели место, т.е. (1)

Пример. Пусть механизм состоит из 3 – х деталей. Работа механизма нарушается, если все эти детали больше, чем по- ложено по стандарту. У сборщика осталось 8 деталей, из ко- торых 4 увеличенного размера. Найти вероятность того, что собранный из оставшихся деталей механизм не будет рабо -тать.

- ненормальная работа механизма, , - я деталь имеет больший размер. Тогда

Введём понятия зависимых и независимых событий.

Рассмотрим опыт из примера 2 предыдущего параграфа, но произведём его следующим образом: извлекаем один шар из урны с 6 – ю белыми и 4 – мя чёрными шарами, определяем его цвет, возвращаем его в урну, перемешиваем шары и снова извлекаем один шар. При тех же обозначениях вероятность того, что оба шара белые, равна

.

Здесь мы столкнулись с понятием независимых событий.