Краткие сведения из теории. Рассмотрим систему автоматического управления (САУ), описываемую линейным (линеаризованным) дифференциальным уравнением вида

Рассмотрим систему автоматического управления (САУ), описываемую линейным (линеаризованным) дифференциальным уравнением вида:

(1)

где u (t) – входной процесс, y (t) – выходной процесс, a_i, b_j, () – постоянные коэффициенты, n, m (n ³ m) – постоянные числа. В операторной форме выражение (1.1) может быть записано –

.

Здесь D – оператор дифференцирования . Отсюда преобразование «вход-выход» системы –

, (2)

где W (D) называется операторной передаточной функции.

Один из способов моделирования систем заключается в представлении преобразования «вход-выход» в виде комплексной передаточной функции:

, (3)

которая получается путем применения преобразования Лапласа к (2) при начальных нулевых условиях. Здесь s -комплексная переменная. Связь между операторной (2) и комплексной (3) передаточными функциями можно записать в виде

.

Передаточная функция равна отношению изображений по Лапласу переменных входа и выхода при нулевых начальных условиях, где интегральное преобразование Лапласа определяется так:

Таким образом, зная дифференциальное уравнение системы можно записать ее передаточную функцию, и, наоборот, по передаточной функции можно записать дифференциальное уравнение.

Комплексные числа, являющиеся корнями многочлена В (s), называются нулями передаточной функции, а корни многочлена A (s) – полюсами.

Явный вид связи входа и выхода определяется выражением:

, (4)

где w (t) – оригинал (т.е. полученный с помощью обратного преобразования Лапласа) комплексной передаточной функции W (s).

Динамические свойства систем характеризуют реакции на входные воздействия специального вида.

Временные характеристики являются одной из форм представления операторов преобразования переменной входного сигнала в переменную выходного сигнала. В частности анализ выхода системы на единичный скачок и d-функцию (дельта-функцию).

Пусть u (t) = 1(t), то есть на вход системы подается функция Хевисайда (единичный скачок), определяемая

График функции Хевисайда приведен на рис. 1. Реакция САУ на единичный скачок называется переходной функцией системы при нулевых начальных условиях и обозначается h (t).

Рисунок 1. - Функция Хевисайда

Рисунок 2. - Функция Дирака

Если u (t) = d(t), то есть на вход системы поступает функция Дирака (d-функция, импульсная функция, рис. 2) определяемая

то реакция САУ называется импульсной переходной функцией системы и обозначается w (t).

Таким образом, оригинал комплексной передаточной функции можно измерить как реакцию системы на импульс.

Импульсная переходная и переходная функции системы связаны соотношением (из (4)):

.

Благодаря широкому применению при исследовании устойчивости динамических систем и проектировании регуляторов получили распространение частотные характеристики.

Частотные характеристики элементов и систем представляют собой зависимость параметров установившихся реакций на гармонические сигналы всех частот и единичных амплитуд. В линейных системах форма и частота установившейся реакции совпадают с формой и частотой сигнала на входе.

Пусть на вход системы с передаточной функцией W (s) подается гармонический сигнал

u (t) = a_u cos(w t), t >0. (5)

В этих условиях справедлива следующая теорема:

Если звено является устойчивым, то установившаяся реакция y (t) на гармоническое воздействие является функцией той же частоты с амплитудой

a_y = a_u | W (i w)|,

и относительным сдвигом по фазе

y = arg W (i w).

Таким образом, выход определяется гармонической функцией

y (t) = a_u | W (i w)| cos(w t + arg W (i w)),

где i – комплексная единица (i ² = –1), – частотная характеристика.

Частотной характеристикой W (i w) стационарной динамической системы называется преобразование Фурье переходной функции:

,

где w (t – t) – импульсная переходная функция.

Связь между комплексной передаточной функцией и частотной характеристикой, исходя из свойств преобразований Фурье, можно представить в виде соотношения:

.

При фиксированном значении w частотная характеристика является комплексным числом, и, следовательно, может быть представлена в виде

.

Здесь

– амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);

– фазово-частотная характеристика (ФЧХ);

– вещественная частотная характеристика (ВЧХ);

– мнимая частотная характеристика (МЧХ).

Комплексная частотная характеристика дает возможность определить амплитуду и фазу гармонического сигнала на выходе системы по значению частоты . Реальные объекты с повышением частоты хуже пропускают сигналы – ослабляют амплитуду и вносят отрицательный фазовый сдвиг. Таким образом, АЧХ находится как модуль, а ФЧХ – как аргумент комплексной функции действительного аргумента .

Геометрическое место точек W (i w) на комплексной плоскости при изменении w от w₀ до w₁ (обычно w₀ = 0, w₁ = ¥), называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) или частотным годографом Найквиста.

Частотный годограф Найквиста применяется при анализе таких свойств систем регулирования и управления, как запаса устойчивости по фазе и амплитуде, коэффициента передачи, ширины полосы пропускания, реакции системы на возмущения.

С использованием годографа Николса и наложенной на него диаграммы Николса, анализируются свойства как разомкнутой, так и замкнутой модели. Команда ngrid строит линии постоянного уровня амплитуды и фазы, соответствующие следующему преобразованию комплексной плоскости Н:

Такая координатная сетка и называется диаграммой Николса. Для одномерных моделей она связывает точки годографа Николса для разомкнутой системы с точками годографа для системы, замкнутой единичной отрицательной обратной связью. Команда ngrid строит сетку координат для модуля в диапазоне от -40 до 40 дБ, для фазы – от -360 до 0 град. Диаграмма Николса накладывается на уже существующий годограф Николса.

Имеет широкое практическое значение диаграмма Боде (логарифмическая амплитудная характеристика, ЛАХ), которая определяется как L = 20 lg A(w), измеряется в децибелах и строится как функция от lg w.

ЛАХ определяет изменение логарифма модуля частотной функции при изменении частоты.

Логарифмические частотные характеристики применяются при анализе таких свойств систем, как запас устойчивости по фазе и амплитуде (модулю), коэффициент передачи, ширина полосы пропускания, реакция системы на возмущения.

Запас устойчивости по фазе – это разность между значением фазовой частотной характеристики и -180 град на частоте среза.

Частота среза – это частота, где значение амплитудной частотной характеристики равно 1.0, или 0 дБ.

Запас устойчивости по модулю – это значение амплитудной частотной характеристики на частоте, где фазовая частотная характеристика имеет значение -180 град.

Как правило, запас устойчивости по фазе в пределах между 30 и 60 градусами обеспечивает приемлемый компромисс между устойчивостью и полосой пропускания.

В качестве единицы измерения величины 20 lg А (ω) используют децибел: 1 дБ = 0,1 бел. 1Б соответствует усилению мощности сигнала в 10 раз, 2 Б — в 100 раз, ЗБ — в 1000 раз и т. д. Так как мощность сигнала Р пропорциональна квадрату амплитуды, a , то усиление в белах, выраженное через отношение амплитуд А, равно 21g А (соответственно в децибелах оно равно 201g А). При этом значения A(ω) и L(ω) связаны между собой следующими соотношениями: знак «+» L(ω) соответствует усилению и A(ω) > 1, L(ω) > 0; знак «-» у L(ω) соответствует ослаблению и A(ω) < l, L(ω) <0:

A (ω).... 0,001 0,01 0,1 0,316 0,89 1,0 1,12 = 3,16 10 100 1000

L, дБ.... -60 -40 -20 -10 -1 0 1 10 20 40 60

С применением ЛАХ диапазон изменения коэффициента усиления значительно сужается.

ЛФХ строится в полулогарифмических координатах, то есть в виде зависимости от lgω; использование логарифмического масштаба на оси ординат не имеет смысла, так как фазовый сдвиг цепочки звеньев (перемножаемых) получается в виде суммы фазовых сдвигов отдельных звеньев.

На оси абсцисс часто указываются значения частоты ω (рад/с). Единицей приращения lgω является декада, соответствующая изменению частоты в 10 раз или октава, соответствующая изменению частоты в два раза (1 октава равна 0,303 декады, так как lg 2 = 0,303). Наклон ЛАХ соответствует 20 дБ/дек 6 дБ/окт (точнее 6,06 дБ/окт). Кроме ЛАХ и ЛФХ можно построить также ЛАФХ.