Уравнения Пуассона и Лапласа

Уравнения Пуассона и Лапласа являются основными дифференциальными уравнениями электростатики. Они вытекают из теоремы Гаусса в дифференциальной форме. Действительно, подставляя в уравнение

вместо величин Е_х; Е_у; Е_z их выражения через потенциал:

получаем уравнение

Это дифференциальное уравнение носит название уравнения Пуассона.

Интеграл

является решением уравнения Пуассона для случая, когда заряды распределены в конечной области пространства.

Если в рассматриваемой области пространства отсутствуют объемные электрические заряды, то уравнение Пуассона получает вид

и называется в этом частном случае уравнением Лапласа.

Отметим, что в цилиндрической и сферической системах координат уравнение Пуассона и Лапласа имеют другую форму записи. Поэтому данные уравнения часто записывают в виде, не зависящем от системы координат:

ѲU = -r/e; (1.11)

ѲU = 0. (1.12)

Оператор Ѳ часто обозначают и называют оператором Лапласа или лапласианом.

При интегрировании уравнения Лапласа (или Пуассона) в решение входят постоянные интегрирования. Их определяют из граничных условий.