Для системы равноотстоящих узлов

В случае равностоящих узлов имеется много различных формул, построение которых зависит от расположения точки интерполирования х_Т по отношению к узлам интерполирования.

Пусть функция f (x) задана таблицей значений f_k = f (x_k) = y_k в узлах x_k = x ₀+ kh (k =), h = x_{k +1} – x_k = const.

На основании условий (3) и аппарата конечных разностей для определения коэффициентов для искомого многочлена (17) получена формула, k =; при условии, что D⁰ = 1; 0! = 1. (22)

Подставляя (22) в (17) получим формулу Ньютона для интерполирования в начале таблицы

(23)

При этом конечные разности определяются или по схеме (табл.1) или по формуле для произвольного узла (19).

Для практического удобства формула (23) часто записывают в другом виде. Вводится новая переменная t = (x – x ₀)/ h. Тогда имеем: x = x ₀ + kh;

’ …’

и (23) примет вид

N (x ₀ + th) = y ₀ + t. (24)

Выражение (24) может аппроксимировать y = f (x) на всем отрезке [ x ₀, x_n ]. Однако, с точки зрения повышения точности расчетов, и уменьшения числа членов в (24), рекомендуется ограничиться случаем t < 1, т.е. использовать формулу (24) для интервала x ₀ £ x £ x ₁. Для других значений аргумента, например, для x ₁ £ x £ x ₂, вместо x ₀ лучше взять значение x ₁. Тогда (24) можно записать в виде

N (x_i + th) = y_i +; i = 0,1,…

(25)

Выражение (25) называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования вперед. Он используется для вычисления значений функций в точках левой половины рассматриваемого отрезка.

Это объясняется тем, что разности D ^ky_i вычисляются через значение функции y_i, y_{i +1},..., y_i+k, причем i + k £ n. Поэтому при больших значениях i нельзя вычислить значения разностей высших порядков (k £ n – i). Например, при i = n – 3 в (25) можно учесть только D y, D² y, D³ y.

Для правой половины отрезка разности рекомендуется вычислять справа налево. В этом случае t = (x – x_n) / h, т.е. t < 0 и (25) можно получить в виде

N (x_n + th) = y_n +

(26)

Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования назад. Для интерполирования в средине отрезка можно использовать интерпретации многочлена Ньютона – это многочлены Стирлинга, Гаусса, Бесселя. Погрешность метода Ньютона:

при t =, x – принадлежит отрезку.