Дифференциалданатын функциялар туралы теоремалар

Анықтама 1. функциясы х=с нүктесінде локальді максимумге (минимумге) жетеді деп айтамыз, егер аймағы табылып, төмендегі теңдік орындалса:

Локальді максимум (max) және минимум (min) функцияның экстремумдары деп аталады.

Теорема 1. (Ферма). Егер болып және нүктесінде экстремумы бар болса, онда

(1)

Дәлелдеуі. (2)

c нүктесі максимум нүктесі болсын. Онда ең кіші үшін . (2)-ден үшін , ал үшін . Бұдан, .

Ферма теоремасының геометриялық мағынасы: функциясының экстремум нүктесінде жүргізілген жанама осіне параллель.

Сурет 14

Бұл нүктесінде экстремум болуының қажетті шарты, бірақ жеткілікті шарты емес. нүктесі функциясының (мысал 1б, лекция 7) экстремумы болмайды, теңдігі орындалса да. Сонымен қатар, экстремум туындысы табылмайтын нүкте болуы да мүмкін, функциясында (мысал 1в, лекция 7) х=0 нүктесі бұрыштық нүкте, болса да.

Анықтама 2. Функцияның туындысы нөлге тең немесе үзіліс нүктелері болатын нүктелер кризистік (стационар) нүктелер деп аталады.

Теорема 2. (Ролль). Егер функциясы сегментінде үзіліссіз және ең болмағанда интервалында ақырлы туындылы болып, теңдігі орындалса, онда орындалатындай .

Дәлелдеуі. функциясы сегментінде үзіліссіз болғандықтан, функциясы осы аралықта өзінің ең кіші мәні m мен ең үлкен мәні М –ді қабылдайды. Онда, егер m=M , аралығында . болсын және . Онда х₁ және х₂ нүктелерінің біреуі интервалының шеткі нүктелеріне тең емес. Ол нүкте нүктесі болсын. Ендеше, c нүктесі экстремум нүктесі болғандықтан, (сурет15).

Сурет 15

Теорема 3 (Коши). Егер аралығында және болса, онда

Келесі теорема 3 теореманың салдары сияқты қарастырылады.

Теорема 4 (Лагранж теоремасы)

Егер , онда теңдігі орындалатындай (сурет 16).

Салдар 1. Егер , [a;b] аралығында.

Салдар 2. Егер , [a;b] аралығында, мұндағы С – const.

түріндегі анықталмағандықтарды ашу. Лопиталь ережесі

Бұл ереже түріндегі дифференциалданатын функцияның шектерін туынды көмегімен есептеуге мүмкіндік береді.

Мысал 1.

(8)-ші формуланың сол жағынның шегі табылуы мүмкін, ал оң жағының шегі – табылмайды.

Мысал 2.

- шегі табылмайды.

Мысал 3. шегін есепте.

Берілген бөлшектің алымы мен бөлімі үзіліссіз, дифференциалданатын және нөлге ұмтылатын функция. Яғни, Лопиталь ережесін екі рет қолдана аламыз:

= = = = .

анықталмағандықтарын ашу

болсын. Онда

а) . Бұл жағдайда .

Мысал 4. .

б) . Онда .

Мысал 5. .

.

в) анықталмағандықтары өрнегінен шығады және теңдіктің екі жағын да логарифмдеу арқылы анықталмағандық түріне келтіреміз.

Мысал 6.

Немесе