Необходимый признак сходимости числового ряда

Теорема 1. Для сходимости любого числового ряда (1) необходимо, чтобы a_n ®0 при n ®∞, то есть чтобы .

Доказательство. Допустим, что ряд (1) сходится. Это значит, что существует и конечна его сумма S _∞, которая определяется пределом (4). Учитывая, что , откуда следует, что , получаем:

То есть действительно a_n ®0 при n ®∞. Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что если a_n не стремится к нулю при n® ∞, то ряд сходиться не может – он заведомо расходится.

Примечание. Условие a_n ®0 при n ®∞ является необходимым, но не достаточным условием сходимости числового ряда (1). Это значит, что оно еще не гарантирует сходимости ряда. Иначе говоря, возможна ситуация, когда при a_n ®0 при n ®∞, и тем не менее ряд (1) расходится.

Классическим примером такого ряда является гармонический ряд

(16)

Необходимое условие сходимости при n ®∞ для этого ряда очевидным образом выполняется. И тем не менее этот ряд расходится, так как его сумма S= ∞.

Докажем это. Для этого рассмотрим рис.1. На этом рисунке изображена бесконечно протяженная в горизонтальном направлении ступенчатая фигура, состоящая из заштрихованных прямоугольников, площади которых соответственно равны ( …). То есть суммарная площадь S этой заштрихованной фигуры как раз равна сумме S гармонического ряда (16). Но эта площадь S заведомо больше площади S₀ между осью ох и гиперболой в пределах для х от 1 до ¥. А

.

И так как S > S₀, то и S = ∞. Таким образом, гармонический ряд расходится, ибо его сумма S равна ∞:

(17)