Оценка зависимости между признаками

Изложенные выше методы статистического анализа дают возможность изучать изменчивость био­логических объектов по отдельным признакам – весу, размерам, плодовитости, физиологическим показателям и др. Однако в ряде случаев важно знать, какова зависимость меж­ду вариацией двух или нескольких признаков, изменяются ли две переменные самостоятельно, независимо друг от друга, или варьирование одного признака в какой-то степени связано с изменчивостью другого. В качестве второй переменной часто выступает какой-либо фактор среды.

Задачу исследования зависимостей можно рассматривать как развитие метода дисперсионного анализа, решающего задачу сравнения нескольких выборок, т. е. изучающего влияния фактора на признак. Техника дисперсионного анализа имеет две особенности. Фактор (или факториальный признак) задан дискретно, в виде градаций, или «доз». Когда исследуется фактор, заданный качественно, то разбиение на градации всего диапазона его действия оказывается очень эффективным способом создания подобия количественной переменной. Но при изучении количественно заданного фактора в грубой градуальной схеме дисперсионного анализа утрачивается часть информации, которая содержится в исходных выборках и которую можно было бы использовать. Кроме этого, дисперсионный анализ явным образом не учитывает тенденции изменения среднего уровня признака при изменении уровня фактора, не содержит показателя характера (знака) зависимости признака от фактора. Все эти «недостатки» дисперсионного анализа не характерны для методов изучения сопряженной изменчивости – корреляционного и регрессионного анализов.

Способ представления отдельных наблюдений здесь меняется: каждая варианта рассматривается как носитель двух численных характеристик объекта измерения, двух зависимых значений случайной величины. Если выше мы отождествляли отдельное значение с отдельной вариантой, то теперь мы рассматриваем варианту как некоторое тело, обладающее минимум двумя зарегистрированными качествами, различными у разных вариант:

Например, для любого животного можно определить массу (M) и длину (L) тела; отдельная варианта будет нести два значения (L, M). При этом множество вариант выборки можно отобразить графически как точки на плоскости осей двух признаков M и L. Вся выборка предстанет в виде множества точек на плоскости (двумерное рассеяние). Как видно на диаграмме (рис. 10), «облако» вариант вытянуто в направлении диагонали облака точек. Справа вверху находятся варианты с высокими значениями и размеров и массы тела, в левом нижнем углу – с наименьшими значениями. В центре расположены варианты с промежуточными, средними значениями.

Рис. 10. Область рассеяния вариант

В первом приближении можно сказать, что двумерное распределение – это ординация вариант на плоскости осей двух признаков. Помимо рассеяния на плоскости, в определение двумерного распределения входит и частота встречаемости отдельных значений (a). Если признаки x и y теоретически подчиняются нормальному закону, тогда скопление вариант в трех осях (оси признаков x, y и частоты а) образует весьма странный «гребень», растянутое в пространстве выпуклое нормальное распределение (рис. 11). Однако в реальности такой идеальной картины получить никогда не удается, приходится ориентироваться только на плоскую фигуру рассеяния немногочисленных вариант. Если область, занятую вариантами, очертить по периферии плавной линией, мы получим вытянутую фигуру, эллипс, ограничивающий область рассеяния вариант, эллипс рассеяния. Эллипс рассеяния – это область распространения вариант одной совокупности.

Можно видеть, что в нашем примере признаки связаны друг с другом – есть общая тенденция: чем больше длина тела, тем больше вес; эта зависимость не очень жесткая, она размыта индивидуальными особенностями объектов (вариант).

Рис. 11. Двумерное распределение

В двумерном распределении проявляются два эффекта: синхронное изменение двух признаков и размывание этой синхронности, т. е. действие факторов сопряжения признаков вдоль оси эллипса и действие случайных факторов – поперек нее.

Корреляционный анализ

Взаимная связь (взаимная зависимость) двух при­знаков при их изменчивости, т. е. сопряженность их вариации, называется корреляцией. Корреляция имеет место в тех случаях, когда признаки из­меняются не автономно, а согласованно. Если с уве­личением одного признака происходит со­ответствующее уве­личение другого, говорят о положительной корреляции, и коэффициент корреляции имеет в этом случае положительный знак (+). Если же по мере увеличения первого признака второй уменьшается, то это отрицательная корреляция, коэффициент корреляции пишется со знаком минус (−). Полная положительная корреляция выражается единицей r = 1, пол­ная отрицательная r = −1. В природе такая ситуация встречается редко, и степень связи выражается той или иной долей единицы. При этом о тесной (сильной) корреляции обычно говорят в тех случаях, когда коэффициент корреляции не ниже ±0.6; значения ниже ±0.6 указывают на среднюю связь, а ниже ±0.3 – на слабую.

Коэффициент корреляции призван численно выражать долю сопряженной вариации двух признаков в общей их вариации:

,

где Cxy – характеристика сопряженной изменчивости признаков,

Cx, Cy – характеристика общей изменчивости признаков.

При большом количестве данных коэффициент корреляции имеет смысл вычислять на компьютере (например, с помощью функции КОРРЕЛ в среде программы Excel), но для небольших выборок его можно быстро найти и при ручном счете. Рабочая формула для расчетов имеет вид:

.

Способ вычисления коэффициента корреляции показан в таблице 13 на примере зависимости меж­ду живым весом коров (х) и их приплода (у, кг). По таблице рас­считываются квадраты вариант и их произведения, а также суммы вариант, квадратов и произведений. Вычисления ведут­ся по точным рабочим формулам.

Таблица 13

i	у	х	у ²	х ²	х∙у
Σ

Проведем последовательные расчеты. Сначала определим вспомогательные величины:

Cxy = Σ(x ∙ y)−(Σ x)∙(Σ y) / n = 103144 − 3150 ∙ 224 / 7 = 2344,

Cy = Σ y ² − (Σ y)² / n = 7330 − 224² / 7 = 162,

Cx = Σ x ² − (Σ x)² / n = 1453158 − 3150² / 7 = 35658;

затем – коэффициент корреляции:

= 0.975.

Далее найдем его ошибку:

,

и, наконец, критерий t Стьюдента для проверки значимости коэффициентов:

t_r = r / m_r = 0.975 / 0.099 = 9.84.

Нулевая гипотеза предполагает отсутствие связи: «коэффициент корреляции значимо от нуля не отличается», r = 0. В нашем примере для уровня значимости α = 0.05 и числа степеней свободы df = n − 2 = 5 находим табличное значение критерия Стьюдента t _{(0.05, 5)} = 2.57. Полученная величина (9.84) значительно превышает табличную (2.57), что говорит о высокой статистической значимости коэффициента корреляции, о достоверности его отличия от нуля. Признаки положительно коррелируют, масса тела теленка действительно возрастает вслед за ростом массы тела коровы.

Выборный коэффициент корреляции в той или иной степени соответствует генеральному параметру. Определить диапазон, где лежит генеральное значение, можно с помощью доверительного интервала, хотя его нельзя построить непосредственно по формуле r ± t _{( α , df )} ∙ m_r. Дело в том, что область изменений коэффициента ограничена рамками ±1, поэтому распределение выборочных коэффициентов корреляции в общем не соответствует нормальному (с диапазоном изменчивости ±∞). Поэтому перед расчетом коэффициент корреляции преобразуют в величину z, имеющую нормальное распределение, и уже для нее отыскивают границы доверительного интервала, после чего выполняют обратное преобразование.

Доверительный интервал для нашего случая (r = 0.975, α = 0.05, п = 7, df = п − 2 = 5, t _(0.05,5) = 2.57) рассчитывается так. Преобразуем r:

= 2.184

или берем его более точное значение из таблицы 13 П, тогда z = 2.0923.

Определяем ошибку = 0.5.

Находим верхнюю границу: _max z = z + t _{( α , df )} ∙ m_z = 2.09+2.57∙0.5 = 3.375 и нижнюю границу: _min z = z − t _{( α , df )} ∙ m_z = 2.09−2.57∙0.5 = 0.805.

Обратное преобразование (по табл. 14 П) дает: _max r ≈ 1.00, _min r ≈ 0.67. Истинное значение коэффициента корреляции находится в диапазоне от 0.67 до 1.00.