Для примеров

Исходные данные	Результаты обработки	Группа
№ п\п	ni, ед.	цi, руб/ед.	ci, руб.	№ п\п	сj, руб.	qj,%	åqj, %
								А
								В
						1,5	94,5
							95,5	С
						0,9	96,4
						0,8	97,2
						0,7	97,9
						0,6	98,5
						0,5	99,0
						0,4	99,4
						0,3	99,7
						0,2	99,9
						0,1
сумма

Дифференциальный метод. В основу метода положены соотношения, опирающиеся на средние значения критерия разбиения на группы:

или (5)

где N – объем выборки.

P – условное обозначение критерия разделения на группы;

С – стоимостной критерий.

В общем случае граничные значения P_А и P_В для группирования рассчитываются с помощью коэффициентов K_i, величины которых приведены в табл. 4. Например, к группе А должны быть отнесены позиции номенклатуры, показатели которых , а к группе В соответственно . Аналогично для группы С:

Таблица 4

Величины коэффициентов для определения номенклатурных групп (дифференциальный метод)

Источник, год	Коэффициенты
К1	К2
Родников А.Н., 1995 Гаджинский А.М., 2000 Николайчук В.Е., 2001		0,5
Маликов О.Б., 2003	5-6	0,5-0,6
Оганесян М.Д., 2004	2-6*	0,33-0,5*
4-6**	0,33-0,5**
Примечания: *) рекомендуемые значения для «широкоассортиментной разницы» (2 или 6) **) тоже для «широкоассортиментного опта».

Пример 2.

Рассмотрим последовательность выбора номенклатурных групп дифференциальным методом при К₁=6 и К₂=0,5 по данным, приведенным в табл. 3.

Поскольку среднее значение показателя руб., то в группу А войдут позиции номенклатуры для которых величины С_i больше или равна руб. Такой показатель только один, следовательно, величина Y_А=30 % и X_A = 5 %. К группе В должны быть отнесены позиции номенклатуры, для которых С_j<600 руб. и руб. Воспользовавшись таблицей, находим Y_A+B = 86%, X_A+B=35 %, т.е. группа В составляет 56 % и в нее вошли 30% номенклатуры.

Несомненное достоинство дифференциального метода – простота: нет необходимости ранжировать показатели С_i и строить интегральную (накопленную) зависимость. Недостаток дифференциального метода – неопределенность выбора коэффициентов К₁ и К₂, приводящая в некоторых случаях к ошибочным результатам (в частности, невозможность выделения группы А).

Аналитический метод. Особенность данного метода состоит в том, что деление на группы А, В и С производится на основе определенного правила (критерия) и зависит от характера интегральной кривой (кумуляты) частоты показателя «P» - Q_i. В настоящее время можно выделить два основных варианта (см. рис. 2) – графический и аналитический.

При графическом способе (рис. 3.) на оси ординат наносятся значения Q_j, на оси абсцисс – индексы 1,2,…, N, соответствующие присвоенным номерам позиций номенклатуры. Точки с координатами (Q_j;i) на графике соединяются плавной кривой OO^’D, которая в общем случае является выпуклой. Затем проводится касательная LM к интегральной кривой OO^’D, параллельно прямой OD. Прямая OD соответствует равномерному распределению показателя для всей номенклатуры

(6)

Абсцисса точки касания O^’, округленная до ближайшего целого значения отделяет от всей номенклатуры первую группу N_A (группа А), в которую входят позиции номенклатуры с показателями . Таким образом, к группе А относятся все позиции номенклатуры, для которых значение показателя q_i больше или равно среднему значению показателя для всей номенклатуры N.

Соответственно ордината точки (Q _A) указывает долю деталей группы А в процентах от величины общего показателя Q _j.

Продолжим деление на группы оставшейся номенклатуры деталей, воспользовавшись вышеописанным приемом. Соединим точку O^’ с точкой D и проведем касательную к кривой O^’ O^’’ D, параллельную прямой O^’D. Абсцисса точки касания O^’’ делит оставшуюся номенклатуру на группу В и группу С.

Для оставшейся номенклатуры величина осредненного показателя составит

(7)

где N_A - число позиций, вошедших в группу А.

Таким образом, в группу В попадают позиции номенклатуры с показателями q_j, подчиняющимися неравенству

(8)

Следует указать, что если кривая OO^’O^’’D невыпуклая, то невозможно выделить ни одну из групп деталей; если кривая O^’O^’’D невыпуклая, то невозможно выделить группы В и С. Нетрудно заметить, что процедура деления может быть продолжена, если необходимо выделить еще одну или более групп.

Сопоставление графического и дифференциального подходов показывает их сходство при определении координат точки А (при k ₁=1) и расхождение, когда координата для определения группы В не строго фиксирована, а определяется кривизной интегральной зависимости и координатой точки А, т.е. k ₂≠const.

Пример 3.

Рассмотрим вариант АВС анализа с использованием графического способа, при котором определение границы А и В производится на основе соотношений (7) и (8). На основе данных табл. 3 выделим группу А по правилу:

При N=20 и в группу А войдут N_A=4 позиций номенклатуры, при этом Y_A=78,5 %, X_A=20%.

Для определения нижней границы группы В воспользуемся формулой (7). Подставив значения, получим

С учетом верхней () и нижней () границ группы В находим: N_B=6 ед., Y_A+B=94,5%, X_A+B=50 %.

Параметры группы С следующие: Y_C=5,5 %, X_C=50%, т.е. 10 позиций номенклатуры.

При аналитическом способе последовательность этапов определения номенклатурных групп следующая:

1. Позиции номенклатуры N нормируются в интервале 0-1 и вводится аргумент X.

2. Выбирается аналитическая зависимость y = f (x,a_p) для аппроксимации интегральной кривой Q_j.

3. Определяются коэффициенты a_p на основе систематизированных статистических данных с использованием метода наименьших квадратов (МНК) или численных методов. При использовании МНК (метод наименьших квадратов) для нелинейных зависимостей типа , и других выполняются необходимые преобразования для приведения к «нормальному» виду. Для аппроксимации интегральной зависимости может быть, например, использована следующая формула:

(9)

На основе МНК Paul Bender (1981 г.) получил уравнение для определения коэффициента a

(10)

Очевидно, что для расчета а необходимо воспользоваться численными методами.

4. При определении коэффициентов а_р необходимо соблюдать начальные условия: первое – при x=0, y=0; второе при x=1, y=1. Это позволяет сократить число «нормальных» уравнений при использовании МНК. Например, для зависимости

(11)

учет начальных условий приводит к соотношению a₁=1-a₂.

5. В качестве критерия деления на группы выберем условие, что в группу А попадут все позиции номенклатуры, показатели которых С_i больше или равны среднему значению показателя для всей выборки . Согласно теореме Лагранжа на выпуклой кривой f (x) существует одна точка А, касательная в которой параллельна хорде, в нашем случае линии, соединяющей начало координат (0,0) и точку с координатами (1,1). Для определения абсциссы точки А воспользуемся формулой

(12)

где f¹ (x_A) – производная функции f (x) в точке касания А;

x _а – искомая абсцисса точки касания;

f (x_а), f (x_в) – значения функции в начальной x _А и конечной x _В точках.

С учетом начальных условий уравнение (12) запишется в виде:

(13)

Решая уравнения (13), находим x _А, затем координату y_A = f (x_A) и количество позиций номенклатуры, относящихся к группе А:

(14)

6. Для определения точки В, введем новую систему координат, принимая за начало отсчета абсциссу X_A и ординату Y (X _A). С учетом, что конечная точка имеет координаты X_B =1, f (X_B)=1, уравнение (12) записывается в виде

(15)

Дальнейшие вычисления аналогичны пункту 5: находим X_A+B, затем Y_A+B и N_A+B =(X_A+B - X_A) N.

Рассмотрим применение аналитического способа определения номенклатурных групп А, В и С.

Пример 5.4.

Допустим, что для расчетов выбрана функция вида:

(16)

Анализ показал, что функция (5.17) может быть использована для аппроксимации Q_j при значениях . Если , то функция y(x) достигнет максимума в интервале 0-1, что противоречит характеру интегральной зависимости Q_j.

Примем , тогда .

Для расчета абсциссы точки касания воспользуемся уравнением (13). Поскольку

, (17)

то после преобразований, находим:

(18)

При подстановке значений a₁ и a₂ получим:

Второе значение x_A=1,707отбрасываем.

Для определения y_A подставим x_A=0,293 в формулу (16) находим:

Таким образом, координаты x_A и y_A определяют границы группы А.

Определим координаты точки В. При подстановке f¹(x) из формулы (5.18), и значений x_A и y_A в правую часть формулы (15) получим:

Обозначим:

Тогда, после преобразований формула для определения абсциссы x_A+B записывается в виде:

(19)

При

находим координаты точки В: x_A+B=0,618 и y_A+B=0,924. Соответственно, параметры группы В: по номенклатуре 32,5%, по основному показателю – 21,7%.