Дифференциальные уравнения движения Эйлера

Дифференциальные уравнения движения Эйлера

Рассмотрим установившийся поток идеальной жидкости, движущейся без трения.

1. Выделим в потоке элементарный параллелепипед объёмом , ориентированный относительно осей координат.

2. При выводе дифференциальных уравнений равновесия Эйлера было показано, что проекция на оси координат сил тяжести и давления, действующих на параллелепипед составляют:

для оси x ,

для оси y ,

для оси z .

3. Согласно основному принципу динамики, сумма проекций сил, действующих на движущийся элементарный объём жидкости, равна произведению массы жидкости на её ускорение.

а) масса жидкости в объёме параллелепипеда

,

б) если жидкость движется со скоростью W, то её ускорение равно ,

а проекции ускорения на оси координат:

, и , где

W_x, W_y, W_z – составляющие скорости вдоль осей x, y, z.

Производные , и - отвечают изменению во времени значений W_x, W_y, и W_z при перемещении частицы жидкости из одной точки пространства в другую (наблюдатель в данном случае связан с движущейся частицей потока), то есть характеризуют составляющие ускорения вдоль соответствующих осей координат.

4. В соответствии с основным принципом динамики

после сокращения

(1)

Причём производные получили название субстанциональных производных. Эта производная характеризует изменение какого-либо параметра или свойства материи (субстанции) во времени при перемещении материальных частиц в пространстве.

В частности, при движении жидкости со скоростью W конвективное и локальное изменения претерпевают все составляющие скорости вдоль осей координат (W_x, W_y, и W_z).

Выражения субстанциональной производной применительно к отдельным составляющим скорости равны.

(2)

Система дифференциальных уравнений (1) с учётом выражений (2) – это дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Эйлера для установившегося потока.

5. При неустановившемся движении скорость жидкости изменяется не только при перемещении частицы потока из одной точки пространства в другую, но и с течением времени в каждой точке.

Составляющие ускорения в уравнении (1), выражаемые субстанциональными производными для неустановившегося потока имеют вид:

(3)

Система дифференциальных уравнений (1) с учётом выражений (3) представляет собой дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Эйлера для неустановившегося потока.

6. Как будет показано ниже, интегралом уравнений движения Эйлера для установившегося потока является уравнение Бернулли, широко используемое для решения многих технических задач.