Модели стационарных и нестационарных временных рядов и их идентификация

Важное значение в анализе временных рядов имеют стационарные временные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени. Стационарные временные ряды применяются, в частности, при описании случайных составляющих анализируемых рядов.

Временной ряд y_t (t= 1,2,…,n) называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей n наблюдений y₁,y­₂,…..,y_n такое же, как и n наблюдений y_1+t,y_2+t,....y_n+t при любых n, t и t. Другими словами, свойства строго стационарных рядов y_t не зависит от момента t, т.е. закон распределения и его числовые характеристики не зависят от t. Следовательно, математическое ожидание a_y(t) = a, среднее квадратическое отклонение s_у(t) = s могут быть оценены по наблюдениям y_t (t= 1,2,…,n) по формулам:

(6.2)

(6.3)

Простейшим примером стационарного временного ряда, у которого математическое ожидание равно нулю, а ошибок e_t некоррелированы, является «белый шум». Следовательно, можно сказать, что возмущения (ошибки) e_t в классической линейной регрессионной модели образуют белый шум, а в случае их нормального распределения – нормальный (гауссовский) белый шум.

Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временного ряда y₁,y­₂,…..,y_n и y_1+t,y_2+t,....y_n+t (сдвинутых относительно друг от друга на e единиц, или, как говорят, с лагом t) может быть определена с помощью коэффициента корреляции

(6.4)

ибо

Так как коэффициент r(t) измеряет корреляцию между членами одного и того же ряда, его называют коэффициентом автокорреляции, а зависимость r(t) – автокорреляционной функцией. В силу стационарности временного ряда y_t (t= 1,2,…,n) автокорреляционная функция r(t) зависит только от лага t, причем корреляционная функция r(- t) = r(t), т.е. при изучение r(t) можно ограничиться рассмотрением только положительных значений t.

Статистической оценкой r(t) является выборочный коэффициент автокорреляции r(t), определяемый по формуле коэффициента корреляции (3.20), в которой x_i = y_t, y_i = y_t+t, a n заменяется на n - t:

Функцию r(t) называют выборочной автокорреляционной функцией, а ее график - коррелограммой.

При расчете r(t) следует помнить, что с увеличением t число n - t пар наблюдений y_t,y_t+t уменьшается, поэтому лаг t должен быть таким, чтобы число n - t было достаточным для определения r(t). Обычно ориентируются на соотношение t £ n/4.

Для стационарного временного ряда с увеличением лага t взаимосвязь членов временного ряда y_t и y_t+t ослабевает и автокорреляционная функция r(t) должна убывать (по абсолютной величине). В тоже время для ее выборочного (эмпирического) аналога r(t), особенно при небольшом числе пар наблюдений n - t, свойство монотонного убывания, (по абсолютной величине) при возрастании t может нарушаться.

Наряду с автокорреляционной функцией при исследовании стационарных временных рядов рассматривается частная автокорреляционная функция r_част(t), где r_част(t) есть частный коэффициент корреляции между членами временного ряда y_t и y_t+t при устранении (элиминировании) влияния промежуточных (между y_t и y_t+t) членов.

Статистической оценкой r_част(t) является выборочная частная автокорреляционная r_част (t) где r_част (t) – выборочный частный коэффициент корреляции, определяемый по формуле (5.21) или (5.22).Например, выборочный частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка между членами временного ряда y_t и y_t+t при устранении влияния y_t+1 может быть вычислен по формулу (5.22):

где r(1), r (1,2),r(2) – выборочные коэффициенты автокорреляции между y_t и y_t+1, y_t+1 и y_t+2, y_t и y_t+2, t = 1,….,n.

►Пример 6.1. По данным табл. 6.1 для временного ряда y_t найти среднее значение, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты автокорреляции 1-го порядка.

Решение. Среднее значение временного ряда находим по формуле (6.2):

Дисперсию и среднее квадратическое отклонение можно вычислить по формуле (6.3), но в данном случае проще использовать соотношение

где

Найдем коэффициент автокорреляции r(t) временного ряда (для лага t = 1), т.е. коэффициент корреляции между последовательностями семи пар наблюдений y_t и y_t+t (t = 1,2….,7):

yt
yt+t

Вычисляем необходимые суммы:

= 213 + 171+….+ 351 = 2014

.

Теперь по формуле (6.5) коэффициент автокорреляции

Коэффициент автокорреляции r(2) для лага t = 2 между членами ряда y_t и y_t+t (t = 1,2,…6) по шести парам наблюдений вычисляем аналогично: r(2)=0,842.

Для определения частного коэффициента корреляции 1-го порядка r_част(2) = r_02.1 между членами ряда y_t и y_t+t вначале найдем (по ананогии с предыдущим) коэффициент автокорреляции r(1,2), между членами ряда y_t+1 и y_t+t2: r = (1,2) = 0,85, а зачем вычислим r_част(2) по формуле (6.6):

►

Значение автокорреляционных функций r_(t) и r_част(t) может оказать существенную помощь при подборе и идентификации модели анализируемого временного ряда и статистической оценке его параметров (см. об этом дальше).