Решение. 1. Линейное уравнение множественной регрессии у от х1 и х2 имеет вид: Для расчета его параметров применим метод определителей и метод стандартизации

1. Линейное уравнение множественной регрессии у от х₁ и х₂ имеет вид: Для расчета его параметров применим метод определителей и метод стандартизации переменных. При использовании метода определителей по исходным данным рассчитываем: Расчеты рекомендуется выполнять в виде таблицы.

Таблица 1.2 - Расчеты для линейной множественной регрессии

N	x1	x2	y	x1*y	x2*y	x12	x22	x1*x2
			0,904	69,608
	78,2		0,922	72,100
	72,9		0,827	60,288
			0,763	51,884
	77,2		0,923	71,256
	66,8		0,739	49,365
	77,2		0,918	70,870
	70,9		0,795	56,366
	77,2		0,906	69,943
	78,1		0,867	67,713
Сумма	743,5		8,564	639,393			1,07E+08
Среднее	74,35	3260,6	0,8564	-	-	-	-	-
	4,143	205,722	0,067	-	-	-	-	-

Определитель системы рассчитываем по формуле (1.8):

Частные определители:

Расчет параметров уравнения регрессии выполним по формулам (1.7):

Уравнение множественной регрессии имеет вид:

С увеличением ожидаемой продолжительности жизни на 1 год при фиксированной суточной калорийности питания индекс человеческого развития повышается 0,164. С увеличением суточной калорийности питания на 1 ккал. на душу населения и фиксированной ожидаемой продолжительности жизни индекс человеческого развития снижается на 0,000034.

Для расчета параметров того же уравнения применим метод стандартизации переменных и построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе:

Расчет - коэффициентов выполним, учитывая систему уравнений (1.10). Для этого рассчитаем парные коэффициенты линейной корреляции (табл.1.3):

Таблица 1.3 - Парные коэффициенты корреляции

	у	х1	х2
у
х1	0,962
х2	0,428	0,525

Линейные коэффициенты парной корреляции показывают, что связь между ожидаемой продолжительностью жизни и индексом человеческого развития тесная, прямая. Между суточной калорийностью питания и индексом человеческого развития умеренная, прямая. Умеренная, прямая межфакторная связь.

Получим уравнение

t_y = 1,0107t_x1 –0,1064t_x2.

Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем b₁ и b₂,используя формулы перехода (1.11) и значения среднего квадратического отклонения из табл. 1.2.:

Значение а определим из соотношения (1.12):

а = 0,8564 – 0,0164*74,35+0,000034*3260,6 = -0,25.

Уравнение регрессии в естественной форме:

Таким образом, получили ту же самую модель, что и методом определителей.

1. Средние коэффициенты эластичности, рассчитанные по формуле (1.14) составили:

По значению средних коэффициентов эластичности можно сделать вывод о более сильном влиянии на индекс человеческого развития у ожидаемой продолжительности жизни х₁, чем суточной калорийности питания х₂: 1,42% против – 0,13%. Причем с увеличением ожидаемой продолжительности жизни х₁ на 1% от своей средней величины и фиксированном воздействии суточной калорийности питания х₂ индекс человеческого развития у в среднем возрастает на 1,42%. При росте суточной калорийности питания х₂ в среднем на 1% и фиксированном воздействии ожидаемой продолжительности жизни х₁ индекс человеческого развития у в среднем снижается на –0,13 %.

Для расчета частных коэффициентов эластичности по формуле (1.17) необходимо определить значения частных уравнений регрессии по формулам (1.16). Результаты расчета сведены в таблицу 1.4.

Таблица 1.4 – Расчет частных уравнений регрессии и коэффициентов эластичности

№		,%		,%			Аi, %
	0,900	1,403	0,854	-0,135	0,897	0,008	0,774
	0,920	1,394	0,865	-0,120	0,928	0,007	0,701
	0,833	1,435	0,861	-0,126	0,837	0,012	1,200
	0,752	1,482	0,862	-0,124	0,758	0,007	0,682
	0,903	1,401	0,847	-0,144	0,893	0,032	3,208
	0,733	1,495	0,868	-0,117	0,744	0,006	0,642
	0,903	1,401	0,857	-0,130	0,904	0,015	1,532
	0,800	1,453	0,852	-0,138	0,795	0,000	0,004
	0,903	1,401	0,854	-0,134	0,901	0,006	0,581
	0,918	1,395	0,846	-0,146	0,907	0,046	4,619

Как видим, частные коэффициенты эластичности по странам несколько отличаются от аналогичных средних показателей по совокупности наблюдений. Так, в Бразилии произошел наибольший процентный рост индекса человеческого развития у по сравнению с другими странами с изменением ожидаемой продолжительности жизни х₁ на 1 %при условии, что х₂ зафиксирован на среднем уровне. В той же стране наблюдается наименьшее процентное снижение индекса человеческого развития у при изменении суточной калорийности питания х₂ на 1 %и закреплении ожидаемой продолжительности жизни х₁ на среднем уровне.

2. Средняя ошибка аппроксимации для множественной регрессии рассчитывается по той же формуле, что и для парной регрессии:

(1.32)

где теоретическое значение результата, полученное путем подстановки в построенную модель соответствующих значений факторов х_i.

Отсюда, прежде чем рассчитать среднюю ошибку аппроксимации, необходимо определить теоретическое значение результативного признака

Результаты расчета средней ошибки аппроксимации представлены в табл. 1.4.

Средняя ошибка аппроксимации составит:

Поскольку величина средней ошибки аппроксимации не превышает (8 – 10) %, то линейная форма модели, описывающей зависимость индекса человеческого развития от ожидаемой продолжительности жизни и суточной калорийности питания, подобрана, верно.

3. Линейные коэффициенты частной корреляции рассчитаны по рекуррентным формулам (1.28) – (1.29) и составили:

Если сравнить значения коэффициентов парной и частной корреляции, то приходим к выводу, что теснота и направление связи для ожидаемой продолжительности жизни и индекса человеческого развития не изменилась, в то же время для суточной калорийности питания и индекса человеческого развития связь осталась умеренной, но изменилось ее направление с прямого на обратное. Это объясняется имеющей место межфакторной связью.

4. Множественный коэффициент корреляции для линейной модели рассчитаем по формулам (1.19) и (1.23):

или .

Расчет по обеим формулам позволил получить одинаковый результат: связь между индексом человеческого развития, ожидаемой продолжительностью жизни и суточной калорийностью питания тесная прямая.

Для расчета множественного коэффициента детерминации используем формулу (1.24), согласно которой R² _x1x2 = 0,963² = 0,927.

Вариация индекса человеческого развития на 92,7 % объясняется вариацией ожидаемой продолжительности жизни и суточной калорийности питания.

5. Целесообразность включения в уравнение фактора х₁ после того, как в него был включен фактор х₂ оценивает частный критерий Фишера F_x1. Соответственно, F_x2 указывает на целесообразность включения в модель фактора х₂ после фактора х₁. они рассчитываются по формулам (1.32) – (1.33):

F _табл. = 5,59 при

Сравнивая F _табл. и F _хi., приходим к выводу о нецелесообразности включения в модель фактора х₂ после фактора х₁, так как прирост доли объясненной вариации результативного признака за счет включения дополнительного фактора х₂ в модель статистически незначим.

6. Оценку статистической значимости уравнения регрессии в целом проводим с помощью критерия Фишера, который рассчитывается по формуле (1.30):

F _табл. = 4,74 при

Сравнивая F _табл. и F, делаем заключение о статистической значимости построенной линейной модели. Следовательно, ее можно использовать для анализа и прогноза.

Существенность параметров полученной модели оценим, используя критерий Стьюдента, рассчитанный по формуле (1.34):

t _табл. = 2,36 при

Сравнивая t _табл и t _факт. приходим к выводу, что так как >2,36 коэффициент регрессии b₁ является статистически значимым, надежным. Так как < 2,36, приходим к заключению, что величина b₂ является статистически незначимой и фактор – суточную калорийность питания нет смысла включать в эконометрическую модель.